Восстановление коэффициента по данным при ограниченном бюджете: тренажёр для 7 класса

Цель: восстанавливать стоимость одной единицы из полного бюджета с фиксированными расходами, различать цену по чеку и максимальный разрешённый тариф.

Школьная мастерская заказывает одинаковые расходные материалы. Пусть F — неизбежная постоянная плата за заказ (₸), q — число единиц, k — цена одной единицы (₸/шт.), T — стоимость или бюджет. Если известна точная стоимость, справедливо T = F + qk и k = (T − F) : q. Если известен только предел бюджета B, то F + qk ≤ B, поэтому цена может быть любой от 0 до (B − F) : q. Один лишь бюджет не позволяет определить фактическую цену.

Таблица исходных данных

Для всех строк, кроме специально оговорённых, q — целое положительное число, цена k неотрицательна и измеряется целыми тенге. В заданиях с лимитом ищи наибольшее допустимое целое k, не забывая проверить округление вниз.

Задания: расчёты и поиск противоречий

1. 1. По оплаченному счёту № 1 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
2. 2. Для строки № 2 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
3. 3. По оплаченному счёту № 3 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
4. 4. Для строки № 4 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
5. 5. По оплаченному счёту № 5 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
6. 6. Для строки № 6 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
7. 7. По оплаченному счёту № 7 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
8. 8. Для строки № 8 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
9. 9. По оплаченному счёту № 9 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
10. 10. Для строки № 10 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
11. 11. По оплаченному счёту № 11 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
12. 12. Для строки № 12 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
13. 13. По оплаченному счёту № 13 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
14. 14. Для строки № 14 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?
15. 15. По оплаченному счёту № 15 восстанови цену k одной единицы, объясни роль фиксированной платы и проверь суммой.
16. 16. Для строки № 16 найди максимальную целую цену k на единицу. Является ли она обязательно фактической ценой? Сколько денег останется при максимуме?

Ключ: расчёт и контроль каждого случая

1. 1. k = (740 − 180) : 7 = 80 ₸/шт. Проверка: 180 + 7 · 80 = 740 ₸. Здесь цена определена однозначно.
2. 2. k ≤ (1040 − 250) : 9; максимум целой цены 87 ₸/шт.. При ней потратят 250 + 9 · 87 = 1033 ₸, остаток 7 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
3. 3. k = (900 − 325) : 5 = 115 ₸/шт. Проверка: 325 + 5 · 115 = 900 ₸. Здесь цена определена однозначно.
4. 4. k ≤ (928 − 160) : 11; максимум целой цены 69 ₸/шт.. При ней потратят 160 + 11 · 69 = 919 ₸, остаток 9 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
5. 5. k = (1230 − 430) : 8 = 100 ₸/шт. Проверка: 430 + 8 · 100 = 1230 ₸. Здесь цена определена однозначно.
6. 6. k ≤ (688 − 285) : 6; максимум целой цены 67 ₸/шт.. При ней потратят 285 + 6 · 67 = 687 ₸, остаток 1 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
7. 7. k = (1215 − 195) : 12 = 85 ₸/шт. Проверка: 195 + 12 · 85 = 1215 ₸. Здесь цена определена однозначно.
8. 8. k ≤ (1039 − 405) : 7; максимум целой цены 90 ₸/шт.. При ней потратят 405 + 7 · 90 = 1035 ₸, остаток 4 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
9. 9. k = (712 − 220) : 4 = 123 ₸/шт. Проверка: 220 + 4 · 123 = 712 ₸. Здесь цена определена однозначно.
10. 10. k ≤ (1337 − 318) : 10; максимум целой цены 101 ₸/шт.. При ней потратят 318 + 10 · 101 = 1328 ₸, остаток 9 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
11. 11. k = (1239 − 375) : 9 = 96 ₸/шт. Проверка: 375 + 9 · 96 = 1239 ₸. Здесь цена определена однозначно.
12. 12. k ≤ (1440 − 510) : 8; максимум целой цены 116 ₸/шт.. При ней потратят 510 + 8 · 116 = 1438 ₸, остаток 2 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
13. 13. k = (1034 − 260) : 6 = 129 ₸/шт. Проверка: 260 + 6 · 129 = 1034 ₸. Здесь цена определена однозначно.
14. 14. k ≤ (1258 − 230) : 13; максимум целой цены 79 ₸/шт.. При ней потратят 230 + 13 · 79 = 1257 ₸, остаток 1 ₸. Фактическая цена может быть ниже.
15. 15. k = (1201 − 340) : 7 = 123 ₸/шт. Проверка: 340 + 7 · 123 = 1201 ₸. Здесь цена определена однозначно.
16. 16. k ≤ (1092 − 490) : 5; максимум целой цены 120 ₸/шт.. При ней потратят 490 + 5 · 120 = 1090 ₸, остаток 2 ₸. Фактическая цена может быть ниже.

Почему найденный коэффициент не всегда единственный

В задаче с точным чеком равенство связывает все величины: если F и q заданы и q > 0, цена k однозначна. В задаче с лимитом k ограничена сверху, но не обязана достигать этого значения. Например, при B = 1040 ₸, F = 250 ₸ и q = 9 максимум равен 87 ₸: 250 + 9 · 87 = 1033 ₸. Но цена 85 ₸ также не нарушает бюджет. Назвать 87 фактической ценой — логическая ошибка.

Два важных пограничных случая. Если B < F, заказ нельзя выполнить даже при нулевой цене материалов: неизбежная плата уже превосходит лимит. Если q = 0, фактическую цену одной единицы из T = F + 0 · k найти нельзя; значение k на итоговую стоимость не влияет. Если в условии разрешена цена с копейками, максимум может быть дробным, а правило округления до целых тенге перестаёт быть необходимым.

При проверке не заменяй знак ≤ на равенство без объяснения. Если определяешь максимально возможное число, округляй результат вниз, а не по обычному правилу до ближайшего целого: иначе рискуешь превысить ограничение хотя бы на один тенге.

Заверши практикум двумя мысленными контрольными вопросами. Что изменится, если фиксированная плата возрастёт? При том же бюджете и количестве допустимая цена за штуку не увеличится. Что произойдёт, если увеличить число единиц, не меняя лимит? Верхняя граница цены за одну единицу не вырастет. Это полезная проверка разумности результата без повторного счёта.