Восстановление коэффициента подобия для подобия по двум сторонам — упражнения разной сложности, 8 класс

Класс: 8. Навык: восстанавливать коэффициент подобия по двум соответствующим сторонам при равном включённом угле. Материал предназначен для самостоятельной работы с последующей проверкой решений, а не для механического угадывания ответа.

Памятка для печати: коэффициент k от первой фигуры ко второй равен «сторона второй / соответствующая сторона первой». Если известны лишь две пары длин, для доказательства подобия треугольников по двум сторонам необходимо ещё равенство углов между ними. Данные задачи явно содержат это условие. При k > 1 фигура увеличена; при 0 < k < 1 — уменьшена. Следите за направлением перехода, единицами длины и обозначениями вершин.

Во всех 18 заданиях заранее известно, что треугольники ABC и DEF подобны с соответствием вершин A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Поэтому AB ↔ DE и AC ↔ DF; равенство включённых углов отдельно подчёркивает тот же порядок. Без предварительного условия о подобии одной пары сторон и одного угла было бы недостаточно для восстановления другой стороны.

На решение одного варианта отведите 15–20 минут. Запишите не только значение коэффициента, но и дробь, из которой он получен. Сверяйте ответы лишь после выполнения всех пунктов.

Содержание статьи4 раздела

Вариант I — восстановите недостающую сторону

  1. Даны треугольники ABC и DEF с ∠A = ∠D = 40°. AB = 6 см, AC = 9 см; DE = 12 см. Найдите коэффициент подобия ABC → DEF и DF.
  2. В двух треугольниках равны включённые углы 55°. AB = 8 см, AC = 12 см, DF = 18 см. Установите DE и коэффициент перехода от ABC к DEF (AB ↔ DE, AC ↔ DF).
  3. У треугольника ABC стороны, образующие угол 65°, равны 9 и 12 см. У второго при таком же включённом угле соответствующая первой сторона равна 12 см. Ученик написал: «коэффициент 3/4». Найдите верный коэффициент ABC → DEF, вторую сторону и объясните ошибку.
  4. Даны треугольники ABC и DEF с ∠A = ∠D = 70°. AB = 4 см, AC = 6 см; DE = 10 см. Найдите коэффициент подобия ABC → DEF и DF.
  5. В двух треугольниках равны включённые углы 35°. AB = 7 см, AC = 10 см, DF = 30 см. Установите DE и коэффициент перехода от ABC к DEF (AB ↔ DE, AC ↔ DF).
  6. У треугольника ABC стороны, образующие угол 50°, равны 14 и 18 см. У второго при таком же включённом угле соответствующая первой сторона равна 7 см. Ученик написал: «коэффициент 2». Найдите верный коэффициент ABC → DEF, вторую сторону и объясните ошибку.
  7. Даны треугольники ABC и DEF с ∠A = ∠D = 40°. AB = 12 см, AC = 16 см; DE = 15 см. Найдите коэффициент подобия ABC → DEF и DF.
  8. В двух треугольниках равны включённые углы 55°. AB = 15 см, AC = 21 см, DF = 14 см. Установите DE и коэффициент перехода от ABC к DEF (AB ↔ DE, AC ↔ DF).
  9. У треугольника ABC стороны, образующие угол 65°, равны 8 и 10 см. У второго при таком же включённом угле соответствующая первой сторона равна 14 см. Ученик написал: «коэффициент 4/7». Найдите верный коэффициент ABC → DEF, вторую сторону и объясните ошибку.

Вариант II — коэффициент и проверка направления

  1. Даны треугольники ABC и DEF с ∠A = ∠D = 70°. AB = 5 см, AC = 7 см; DE = 20 см. Найдите коэффициент подобия ABC → DEF и DF.
  2. В двух треугольниках равны включённые углы 35°. AB = 16 см, AC = 20 см, DF = 15 см. Установите DE и коэффициент перехода от ABC к DEF (AB ↔ DE, AC ↔ DF).
  3. У треугольника ABC стороны, образующие угол 50°, равны 9 и 15 см. У второго при таком же включённом угле соответствующая первой сторона равна 15 см. Ученик написал: «коэффициент 3/5». Найдите верный коэффициент ABC → DEF, вторую сторону и объясните ошибку.
  4. Даны треугольники ABC и DEF с ∠A = ∠D = 40°. AB = 10 см, AC = 15 см; DE = 12 см. Найдите коэффициент подобия ABC → DEF и DF.
  5. В двух треугольниках равны включённые углы 55°. AB = 4 см, AC = 8 см, DF = 28 см. Установите DE и коэффициент перехода от ABC к DEF (AB ↔ DE, AC ↔ DF).
  6. У треугольника ABC стороны, образующие угол 65°, равны 15 и 20 см. У второго при таком же включённом угле соответствующая первой сторона равна 6 см. Ученик написал: «коэффициент 5/2». Найдите верный коэффициент ABC → DEF, вторую сторону и объясните ошибку.
  7. Даны треугольники ABC и DEF с ∠A = ∠D = 70°. AB = 8 см, AC = 12 см; DE = 18 см. Найдите коэффициент подобия ABC → DEF и DF.
  8. В двух треугольниках равны включённые углы 35°. AB = 6 см, AC = 12 см, DF = 32 см. Установите DE и коэффициент перехода от ABC к DEF (AB ↔ DE, AC ↔ DF).
  9. У треугольника ABC стороны, образующие угол 50°, равны 18 и 24 см. У второго при таком же включённом угле соответствующая первой сторона равна 15 см. Ученик написал: «коэффициент 6/5». Найдите верный коэффициент ABC → DEF, вторую сторону и объясните ошибку.

Ключ учителю: вариант I

  1. k = DE / AB = 12 / 6 = 2; DF = k · AC = 2 · 9 = 18 см. Равны включённые углы, а обе прилежащие стороны находятся в одинаковом отношении.
  2. k = DF / AC = 18 / 12 = 3/2; DE = AB · k = 8 · 3/2 = 12 см.
  3. k = 12 / 9 = 4/3, а 3/4 — коэффициент обратного перехода DEF → ABC. Вторая сторона = 12 · 4/3 = 16 см.
  4. k = DE / AB = 10 / 4 = 5/2; DF = k · AC = 5/2 · 6 = 15 см. Равны включённые углы, а обе прилежащие стороны находятся в одинаковом отношении.
  5. k = DF / AC = 30 / 10 = 3; DE = AB · k = 7 · 3 = 21 см.
  6. k = 7 / 14 = 1/2, а 2 — коэффициент обратного перехода DEF → ABC. Вторая сторона = 18 · 1/2 = 9 см.
  7. k = DE / AB = 15 / 12 = 5/4; DF = k · AC = 5/4 · 16 = 20 см. Равны включённые углы, а обе прилежащие стороны находятся в одинаковом отношении.
  8. k = DF / AC = 14 / 21 = 2/3; DE = AB · k = 15 · 2/3 = 10 см.
  9. k = 14 / 8 = 7/4, а 4/7 — коэффициент обратного перехода DEF → ABC. Вторая сторона = 10 · 7/4 = 35/2 см.

Ключ учителю: вариант II

  1. k = DE / AB = 20 / 5 = 4; DF = k · AC = 4 · 7 = 28 см. Равны включённые углы, а обе прилежащие стороны находятся в одинаковом отношении.
  2. k = DF / AC = 15 / 20 = 3/4; DE = AB · k = 16 · 3/4 = 12 см.
  3. k = 15 / 9 = 5/3, а 3/5 — коэффициент обратного перехода DEF → ABC. Вторая сторона = 15 · 5/3 = 25 см.
  4. k = DE / AB = 12 / 10 = 6/5; DF = k · AC = 6/5 · 15 = 18 см. Равны включённые углы, а обе прилежащие стороны находятся в одинаковом отношении.
  5. k = DF / AC = 28 / 8 = 7/2; DE = AB · k = 4 · 7/2 = 14 см.
  6. k = 6 / 15 = 2/5, а 5/2 — коэффициент обратного перехода DEF → ABC. Вторая сторона = 20 · 2/5 = 8 см.
  7. k = DE / AB = 18 / 8 = 9/4; DF = k · AC = 9/4 · 12 = 27 см. Равны включённые углы, а обе прилежащие стороны находятся в одинаковом отношении.
  8. k = DF / AC = 32 / 12 = 8/3; DE = AB · k = 6 · 8/3 = 16 см.
  9. k = 15 / 18 = 5/6, а 6/5 — коэффициент обратного перехода DEF → ABC. Вторая сторона = 24 · 5/6 = 20 см.

Разбор типичной ошибки: из AB = 6, DE = 12 следует k = 2, если переводим ABC в DEF. Дробь 6/12 = 1/2 тоже верна, но описывает противоположное отображение. Вне зависимости от варианта положительный коэффициент должен одинаково связывать обе пары соответствующих сторон; один совпавший масштаб при разных остальных отношениях означает, что условие о подобии не выполнено.

Самопроверка. Для каждого равенства длин укажите, какие именно стороны соответствуют. Числовое совпадение без правильного соответствия и необходимого условия о равенстве углов ещё не доказывает подобие.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым