Восстановление коэффициента подобия при разных ориентациях треугольников — карточки с ответами, 8 класс

Старт: установите направление коэффициента

Если ΔABC ∼ ΔPQR, соответствуют пары A↔P, B↔Q, C↔R. Для перехода от первого треугольника ко второму k=PQ/AB=QR/BC=PR/AC>0. Коэффициент для обратного перехода равен 1/k. Отражение и поворот сами по себе дают k=1; их сочетание с увеличением или уменьшением оставляет k положительным.

1. № 1. ΔABC ∼ ΔPQR, AB=4 см и PQ=10 см. Найдите k от ABC к PQR.
2. № 2. ΔKLM ∼ ΔRST, KL=12 см и RS=3 см. Найдите k от KLM к RST.
3. № 3. ΔABC ∼ ΔTRS, BC=9 см и RS=6 см. Какая пара сторон соответствует BC?
4. № 4. ΔMNP ∼ ΔXYZ, NP=7 см, YZ=21 см. Найдите k и поясните влияние поворота.
5. № 5. ΔDEF ∼ ΔUVW, DE=16 см, UV=12 см. Новая фигура зеркально отражена. Найдите k.
6. № 6. ΔQRS ∼ ΔKLM, QR=5 см и KL=12,5 см. Найдите k от QRS к KLM.

Как не зависеть от ориентации чертежа

Проверка соответствия всегда начинается с записи вершин. В обозначении ΔABC ∼ ΔPQR первая вершина A соответствует P, вторая B — Q, третья C — R. Поэтому сторона AC соответствует PR, даже если на рисунке она находится по другую сторону треугольника. Если ΔABC ∼ ΔQRP, то AB соответствует QR, а BC соответствует RP. Направление обхода по картинке не меняет этого соглашения.

После того как пара сторон выбрана, проговорите направление коэффициента: «длина во втором треугольнике, делённая на длину в первом». Если отрезок первого равен 5 см, а соответствующий второго 15 см, k от первого ко второму равен 3, а в обратную сторону 1/3. Поворот на 90° или отражение может поменять расположение вершин, но при сохранении длин не превращает k в отрицательное число.

Развилка: верно или ошибка? (7–12)

Для каждого утверждения укажите «верно» или «ошибка», а затем исправьте коэффициент, если он указан неверно. Некоторые задания намеренно меняют порядок букв и направление преобразования.

7. № 7. Верно ли: при отражении треугольника с неизменными длинами коэффициент подобия отражения к оригиналу равен −1?
8. № 8. У подобных треугольников первая соответствующая сторона 8, вторая 12 см. Ученик получил k=2/3 от первого ко второму. Верно?
9. № 9. ΔABC ∼ ΔPQR; AB=9, PQ=6 см. Ученик написал 3/2 как коэффициент от ABC к PQR. Исправьте.
10. № 10. Треугольник повернули на 180° и увеличили все его стороны в 3 раза. Верно ли, что коэффициент k=3?
11. № 11. ΔABC ∼ ΔQRP; BC=10 см, RP=15 см. Ошибка ли сравнивать BC и QP для k?
12. № 12. ΔABC ∼ ΔPQR. Известно AB/PQ=4/7. Ученик назвал k=4/7 от ABC к PQR. Оцените.

Ступени маршрута: длины, периметры и площади (13–18)

Если прямых измерений сторон недостаточно, можно восстановить k из отношений периметров; по площадям k — положительный квадратный корень из отношения площадей. Не перепутайте коэффициент подобия k с коэффициентом площадей k².

13. № 13. ΔABC ∼ ΔKLM, соответствующие периметры равны 18 и 30 см. Найдите k от ABC к KLM.
14. № 14. Площади первого и второго подобных треугольников — 27 и 75 см². Найдите положительный k от первого ко второму.
15. № 15. У исходного прямоугольного треугольника катеты 2 и 3 см. Второй получен поворотом на 90° и гомотетией с k=2. Назовите длины соответствующих катетов.
16. № 16. На схеме второй треугольник изображён крупнее, но соответствующие стороны имеют длины 8 см у первого и 2 см у второго. Найдите k от первого ко второму.
17. № 17. ΔABC ∼ ΔZYX, AB=6, ZY=15 см, BC=8 см. Найдите длину стороны YX.
18. № 18. Первый треугольник отражён относительно вертикальной оси, затем уменьшен с k=2/5. Исходная площадь 125 см². Какой стала площадь второго?

Ключ первого этапа

1. № 1. 5/2: вершины A↔P и B↔Q; PQ/AB=10/4.
2. № 2. 1/4: 3/12=1/4, хотя рисунок второго можно нарисовать крупнее.
3. № 3. BC↔RS, поэтому k от ABC к TRS равен 2/3.
4. № 4. 3; поворот сам по себе не меняет отношения соответствующих сторон.
5. № 5. 3/4: ориентация не меняет k=12/16.
6. № 6. 5/2: 12,5/5=2,5; порядок вершин задаёт соответствие.

Разбор ошибок

7. № 7. Ошибка. Отношение длин положительно, поэтому k=1, а не −1.
8. № 8. Ошибка направления. Нужен k=12/8=3/2.
9. № 9. 2/3. Ученик нашёл обратный коэффициент — от PQR к ABC.
10. № 10. Верно. Поворот не влияет, увеличение даёт k=3.
11. № 11. Да. При указанном порядке B↔R, C↔P; значит BC↔RP и k=3/2.
12. № 12. Неверно: k=PQ/AB=7/4; отношение 4/7 относится к обратному направлению.

Итоговая проверка

13. № 13. 5/3: периметры подобных треугольников относятся как соответствующие стороны.
14. № 14. k=√(75/27)=√(25/9)=5/3; знак ориентации здесь не участвует.
15. № 15. 4 и 6 см. При повороте горизонтальные и вертикальные направления могут поменяться.
16. № 16. 1/4. Доверяем числовым данным и соответствию, а не визуальному размеру условного рисунка.
17. № 17. k=15/6=5/2, значит YX=8·5/2=20 см. Порядок вершин определяет пары AB↔ZY, BC↔YX.
18. № 18. k²=4/25; новая площадь 125·4/25=20 см². Отражение не меняет площади.

Если ошибка возникла в № 8–9 или № 12, запишите словами «от первого ко второму» и только потом составляйте дробь. Если затруднения вызвали № 13–14, сначала укажите, по каким величинам — длинам, периметрам или площадям — определяется k. Если картинка повернута, восстановите соответствие по порядку букв и данным об углах: ориентация не является доказательством соответствия сторон.

Критерий выполнения: все 18 заданий предусматривают обоснованный ответ; недостаточно написать один коэффициент без указания направления и соответствующей пары сторон.