Восстановление коэффициента подобия при составной геометрической фигуре: задания с разбором, 8 класс

Задача-наблюдение

Два прямоугольника соединены вдоль общего участка вертикальной границы без перекрытия. У первого размеры 4 × 6 см и 2 × 3 см. Во второй фигуре — 8 × 12 см и 4 × 6 см; детали расположены точно так же. Ширины и высоты каждой части увеличились вдвое. Даже если внешняя граница не является прямоугольником, один и тот же масштаб действует на каждую длину: k = 2.

Заменим только ширину маленького прямоугольника 4 см на 5 см. Площадь и внешний вид меняются, однако отношение этой ширины к исходной теперь равно 5/2, а для остальных размеров — 2. Объявить фигуры подобными нельзя. Это важнее, чем внешнее сходство на глаз.

Сформулируйте правило и проверьте его

Проверьте самостоятельно тезис «если площадь второй составной фигуры больше, то все её части обязательно подобны исходным». Он ложен: увеличение одной пристройки повышает площадь, не сохраняя все соответствующие отношения. Для фиксированной ориентации и расположения частей единый масштаб требует одинаковых отношений для каждой стороны и сохранения расположения соединения. Периметр всей фигуры не заменяет такую проверку.

Исследовательский вопрос: что случится, если размеры левой части увеличатся в 1,5 раза, а правой в 2 раза? Целиком такая фигура не является результатом одного подобия. Но каждая часть в отдельности может быть подобной соответствующей части — отличайте эти утверждения.

Новые данные: исследуйте 14 составных фигур

1. Составная фигура состоит из прямоугольника 4×6 см и приставленного справа прямоугольника 2×3 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 8×12 см и 4×6 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
2. Составная фигура состоит из прямоугольника 5×8 см и приставленного справа прямоугольника 3×2 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 15/2×12 см и 5×3 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
3. Составная фигура состоит из прямоугольника 6×9 см и приставленного справа прямоугольника 4×3 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 3×9/2 см и 2×3/2 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
4. Составная фигура состоит из прямоугольника 8×12 см и приставленного справа прямоугольника 5×4 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 24×36 см и 31/2×12 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
5. Составная фигура состоит из прямоугольника 7×10 см и приставленного справа прямоугольника 2×5 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 14×20 см и 4×10 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
6. Составная фигура состоит из прямоугольника 9×14 см и приставленного справа прямоугольника 4×6 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 27/2×21 см и 13/2×9 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
7. Составная фигура состоит из прямоугольника 10×15 см и приставленного справа прямоугольника 3×8 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 5×15/2 см и 3/2×4 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
8. Составная фигура состоит из прямоугольника 12×18 см и приставленного справа прямоугольника 5×7 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 16×24 см и 43/6×28/3 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
9. Составная фигура состоит из прямоугольника 6×11 см и приставленного справа прямоугольника 3×4 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 15×55/2 см и 15/2×10 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
10. Составная фигура состоит из прямоугольника 8×13 см и приставленного справа прямоугольника 4×5 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 16×26 см и 17/2×10 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
11. Составная фигура состоит из прямоугольника 10×16 см и приставленного справа прямоугольника 6×7 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 15/2×12 см и 9/2×21/4 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
12. Составная фигура состоит из прямоугольника 14×20 см и приставленного справа прямоугольника 8×9 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 21×30 см и 25/2×27/2 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
13. Составная фигура состоит из прямоугольника 9×15 см и приставленного справа прямоугольника 5×6 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 18×30 см и 10×12 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.
14. Составная фигура состоит из прямоугольника 16×24 см и приставленного справа прямоугольника 7×11 см; прямоугольники не перекрываются и совмещены по нижней линии. Во второй фигуре соответствующие размеры: 20×30 см и 37/4×55/4 см. Можно ли всю фигуру получить из первой одним подобием? Определите k и, если требуется, исправьте ширину правой части.

Решения и контрпримеры

1. По левой части k = 8/4 = 2; проверка второй стороны: 12/6 = 2. Правая часть должна иметь размеры 4×6 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
2. По левой части k = 15/2/5 = 3/2; проверка второй стороны: 12/8 = 3/2. Правая часть должна иметь размеры 9/2×3 см. Дано 5 см вместо 9/2 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 9/2 см.
3. По левой части k = 3/6 = 1/2; проверка второй стороны: 9/2/9 = 1/2. Правая часть должна иметь размеры 2×3/2 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
4. По левой части k = 24/8 = 3; проверка второй стороны: 36/12 = 3. Правая часть должна иметь размеры 15×12 см. Дано 31/2 см вместо 15 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 15 см. Площадь при таком k меняется в 9 раза, но коэффициент длин остаётся 3.
5. По левой части k = 14/7 = 2; проверка второй стороны: 20/10 = 2. Правая часть должна иметь размеры 4×10 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
6. По левой части k = 27/2/9 = 3/2; проверка второй стороны: 21/14 = 3/2. Правая часть должна иметь размеры 6×9 см. Дано 13/2 см вместо 6 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 6 см.
7. По левой части k = 5/10 = 1/2; проверка второй стороны: 15/2/15 = 1/2. Правая часть должна иметь размеры 3/2×4 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
8. По левой части k = 16/12 = 4/3; проверка второй стороны: 24/18 = 4/3. Правая часть должна иметь размеры 20/3×28/3 см. Дано 43/6 см вместо 20/3 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 20/3 см. Площадь при таком k меняется в 16/9 раза, но коэффициент длин остаётся 4/3.
9. По левой части k = 15/6 = 5/2; проверка второй стороны: 55/2/11 = 5/2. Правая часть должна иметь размеры 15/2×10 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
10. По левой части k = 16/8 = 2; проверка второй стороны: 26/13 = 2. Правая часть должна иметь размеры 8×10 см. Дано 17/2 см вместо 8 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 8 см.
11. По левой части k = 15/2/10 = 3/4; проверка второй стороны: 12/16 = 3/4. Правая часть должна иметь размеры 9/2×21/4 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
12. По левой части k = 21/14 = 3/2; проверка второй стороны: 30/20 = 3/2. Правая часть должна иметь размеры 12×27/2 см. Дано 25/2 см вместо 12 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 12 см. Площадь при таком k меняется в 9/4 раза, но коэффициент длин остаётся 3/2.
13. По левой части k = 18/9 = 2; проверка второй стороны: 30/15 = 2. Правая часть должна иметь размеры 10×12 см. Четыре отношения равны k и взаимное расположение частей совпадает, поэтому вся фигура подобна первой.
14. По левой части k = 20/16 = 5/4; проверка второй стороны: 30/24 = 5/4. Правая часть должна иметь размеры 35/4×55/4 см. Дано 37/4 см вместо 35/4 см: это контрпример, один коэффициент для всей составной фигуры не существует. Исправление: 35/4 см.