Восстановление коэффициентов по точкам по графику тарифного плана — рабочий лист для 7 класса

Цель: по двум точкам графика тарифного плана восстановить цену за 1 ГБ и обязательную абонентскую плату, а затем проверить неточные подписи к графику.

Чтение исходных данных

Компания условно начисляет плату по правилу T(x) = ax + b, где x — израсходованные гигабайты за месяц (x ≥ 0), T(x) — итоговая плата в тенге, a — добавочная цена за гигабайт, b — фиксированная плата за месяц. Все данные вымышленные и нужны только для тренировки.

Точка (2; 390) означает не «два тенге и 390 ГБ», а 2 ГБ расхода при сумме 390 тг. Если известны две точки с различными x, сначала найдите a = (T₂ − T₁)/(x₂ − x₁), затем b = T₁ − ax₁. Положительная величина a измеряется в тг/ГБ, величина b — в тг.

Практикум: от чтения таблицы к проверке модели

1. Для тарифа А определите стоимость одного дополнительного гигабайта и фиксированную плату; запишите формулу.
2. Восстановите коэффициенты тарифа Б, используя обе отмеченные точки.
3. Получите уравнение тарифа В. Проверьте его на каждой заданной точке.
4. Для тарифа Г объясните значение точки с нулевым расходом и вычислите коэффициент наклона.
5. Найдите формулу тарифа Д. Сравните постоянную плату с тарифом Б.
6. Верна ли подпись «А: при 8 ГБ цена 770 тг»? Укажите правильное значение.
7. Может ли точка (9; 690) принадлежать графику тарифа Б? Обоснуйте подстановкой.
8. В таблице для тарифа В указано (6; 730). Найдите и исправьте ошибку.
9. Какой тариф из А и Г выгоднее при 5 ГБ? Сколько составляет разница?
10. При каком расходе стоимость А и Б одинакова? Составьте и решите уравнение.
11. Определите цену 10 ГБ по тарифу Д и укажите координаты соответствующей точки.
12. Верно ли, что одинаковый наклон графиков А и В означает одинаковую стоимость при любом расходе?
13. Ученик утверждает: «По одной точке (2; 390) можно однозначно определить формулу А». Найдите недостаток рассуждения.
14. Подберите третью контрольную точку для тарифа Г при 9 ГБ и проверьте найденную модель.
15. В формуле тарифа Б ошибочно записали 240x + 50. Как показать, что коэффициенты перепутаны?
16. Объясните, почему при анализе графика ежемесячной платы в этой модели x не может быть отрицательным.

Ключ с решениями и проверками

1. Разность платежей 630 − 390 = 240 тг приходится на 6 − 2 = 4 ГБ; a = 240 : 4 = 60 тг/ГБ. b = 390 − 60·2 = 270 тг. Формула T(x) = 60x + 270.
2. Прирост 490 − 290 = 200 тг на 4 ГБ: a = 50. Начальный взнос b = 290 − 50 = 240. T(x) = 50x + 240.
3. a = (840 − 540) : (8 − 3) = 60; b = 540 − 60·3 = 360. T(x) = 60x + 360. Проверка: T(8) = 840.
4. Точка (0; 210) означает оплату без расходования трафика — фиксированные 210 тг. a = (450 − 210) : 4 = 60. T(x) = 60x + 210.
5. a = (560 − 310) : (7 − 2) = 50; b = 310 − 100 = 210. T(x) = 50x + 210. У Б b = 240, то есть на 30 тг больше.
6. Нет. TА(8) = 60·8 + 270 = 750 тг, а не 770. Подпись завышает сумму на 20 тг.
7. Да: TБ(9) = 50·9 + 240 = 690 тг. Обе координаты согласованы с формулой.
8. TВ(6) = 60·6 + 360 = 720 тг. Указанные 730 тг отличаются на 10 тг; верная точка (6; 720).
9. А: 60·5 + 270 = 570 тг; Г: 60·5 + 210 = 510 тг. Тариф Г дешевле на 60 тг при любом x ≥ 0.
10. 60x + 270 = 50x + 240, откуда 10x = −30 и x = −3. В допустимой области x ≥ 0 пересечений нет; А всегда дороже Б.
11. TД(10) = 50·10 + 210 = 710 тг. Точка графика — (10; 710).
12. Нет. a одинаково и равно 60 тг/ГБ, но фиксированные платы различны: 270 и 360 тг. Разница в счёте постоянно 90 тг.
13. Недостаточно второй точки или знания одного из коэффициентов: через (2; 390) проходят, например, y = 60x + 270 и y = 50x + 290.
14. TГ(9) = 60·9 + 210 = 750 тг; третья точка (9; 750) лежит на той же прямой.
15. Подставим x = 1: настоящая цена равна 290 тг, а ошибочная формула даст 240·1 + 50 = 290 — случайное совпадение. При x = 5 ошибочная запись даёт 1250 тг вместо 490. Нужны две разные точки.
16. x означает число израсходованных гигабайтов, отрицательный расход невозможен. Алгебраическую прямую можно продолжить влево, но физический тариф описан только при x ≥ 0.

Разбор типичной логической ловушки

В задании 15 перепутанные коэффициенты случайно дают правильный ответ в одной исходной точке. Именно поэтому недостаточно проверки только на одном x. При двух разных значениях аргумента неверная формула обнаруживается. Другая ловушка — принимать отрицательное x = −3 из формального уравнения в задании 10 за реальный объём потребления; математическое пересечение прямых не всегда относится к допустимой прикладной области.

Итог: на графике тарифного плана нужно одновременно проверять разность платежей, единицы измерения, фиксированную часть и область допустимых значений.