Восстановление коэффициентов тождества по заданному значению выражения: тематические карточки для 7 класса

7 класс · тематические карточки. Здесь неизвестные коэффициенты многочлена нужно восстановить по двум разным видам информации: тождеству, которое определяет коэффициент при x, и заданному значению всего выражения в конкретной точке. Цель — научиться отделять свойства многочлена от отдельного числового наблюдения.

Старт: одно число ещё не определяет многочлен

Пусть P(x)=(ax+b)(x+2)−ax². После раскрытия скобок получаем P(x)=(2a+b)x+2b. Если известно только P(1)=12, то подходит много разных пар a и b, поскольку 2a+3b=12. Но если дополнительно коэффициент при x равен 4, появляется второе условие 2a+b=4. Разность этих условий даёт 2b=8, то есть b=4, a=0. Тогда P(x)=4x+8, и P(1)=12.

Это важное различие: значение многочлена в точке — одно уравнение, а тождественное равенство многочленов даёт равенства соответствующих коэффициентов. В карточках записано достаточно независимых условий. Не путайте символ c в правой части с ещё одним произвольным коэффициентом: после раскрытия скобок он должен совпасть со свободным членом исходного выражения.

Маршрут 1. Выпишите два условия

1. В тождестве (a·x+b)(x+2)−a·x² ≡ 7x+c задано P(1)=13. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(1) без тождества.
2. В тождестве (a·x+b)(x+3)−a·x² ≡ 1x+c задано P(2)=−4. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(2) без тождества.
3. В тождестве (a·x+b)(x+2)−a·x² ≡ 2x+c задано P(−1)=6. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(−1) без тождества.
4. Проверьте утверждение: для P(x) = (a·x + b)(x + 2) − a·x² коэффициент при x равен 7, а P(3)=23. Верно ли, что a=4, b=1? Найдите верную пару.
5. Для P(x)=(a·x+b)(x+4)−a·x² известно: коэффициент при x равен 5, а P(2)=−2. Дайте все коэффициенты многочлена и найдите значение P(0).
6. В тождестве (a·x+b)(x+3)−a·x² ≡ −1x+c задано P(1)=14. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(1) без тождества.

После каждого ответа подставьте найденные коэффициенты в исходное выражение. Если левая часть не упрощается до заявленного линейного многочлена, значит, ошибка сделана при раскрытии скобок или делении на k. В нашей серии k не равен нулю, поэтому деление на k допустимо.

Маршрут 2. Верно или неверно? Обратная проверка

1. В тождестве (a·x+b)(x+2)−a·x² ≡ 7x+c задано P(−2)=−16. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(−2) без тождества.
2. В тождестве (a·x+b)(x+4)−a·x² ≡ 6x+c задано P(3)=26. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(3) без тождества.
3. Проверьте утверждение: для P(x) = (a·x + b)(x + 2) − a·x² коэффициент при x равен −4, а P(2)=−4. Верно ли, что a=−2, b=2? Найдите верную пару.
4. В тождестве (a·x+b)(x+1)−a·x² ≡ 1x+c задано P(4)=0. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(4) без тождества.
5. Для P(x)=(a·x+b)(x+5)−a·x² известно: коэффициент при x равен 11, а P(−1)=−6. Дайте все коэффициенты многочлена и найдите значение P(0).
6. В тождестве (a·x+b)(x+3)−a·x² ≡ 3x+c задано P(−2)=12. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(−2) без тождества.

В утверждениях о неверной паре параметров мало указать «нет». Запишите коэффициент при x, свободный член и итоговое значение в указанной точке. Если хотя бы одно условие не выполняется, пара не подходит. Если оба выполняются, пара является решением системы и задаёт требуемое тождество.

Маршрут 3. Итоговые карточки для самостоятельной работы

1. Проверьте утверждение: для P(x) = (a·x + b)(x + 3) − a·x² коэффициент при x равен 7, а P(0)=−6. Верно ли, что a=4, b=−2? Найдите верную пару.
2. В тождестве (a·x+b)(x+2)−a·x² ≡ −3x+c задано P(4)=−22. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(4) без тождества.
3. В тождестве (a·x+b)(x+1)−a·x² ≡ 7x+c задано P(−3)=−18. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(−3) без тождества.
4. Для P(x)=(a·x+b)(x+2)−a·x² известно: коэффициент при x равен 7, а P(2)=28. Дайте все коэффициенты многочлена и найдите значение P(0).
5. Проверьте утверждение: для P(x) = (a·x + b)(x + 4) − a·x² коэффициент при x равен 16, а P(1)=32. Верно ли, что a=4, b=4? Найдите верную пару.
6. В тождестве (a·x+b)(x+3)−a·x² ≡ 5x+c задано P(5)=22. Найдите a, b и c. Объясните, достаточно ли одного значения P(5) без тождества.

Контрольные вопросы: почему занулился коэффициент x²? Можно ли восстановить a и b без известного коэффициента при x? Что случилось бы при k=0? В последнем случае свободный член kb всегда равен нулю, поэтому использованная схема потребовала бы отдельного анализа и не позволяла бы делать те же деления. Эта граница метода важнее механического запоминания формулы.

Ключ: ответ, вывод, обратная подстановка

1. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=7. Подстановка x=1: 7·(1) + c=13, откуда c=6. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=3. Затем a=(7−(3))/2=2. Проверка: P(x)≡7x + 6 и P(1)=13.
2. Сравнение коэффициента при x: 3a+b=1. Подстановка x=2: 1·(2) + c=−4, откуда c=−6. Свободный член исходной формы — 3b=c, поэтому b=−2. Затем a=(1−(−2))/3=1. Проверка: P(x)≡1x − 6 и P(2)=−4.
3. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=2. Подстановка x=−1: 2·(−1) + c=6, откуда c=8. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=4. Затем a=(2−(4))/2=−1. Проверка: P(x)≡2x + 8 и P(−1)=6.
4. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=7. Подстановка x=3: 7·(3) + c=23, откуда c=2. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=1. Затем a=(7−(1))/2=3. Проверка: P(x)≡7x + 2 и P(3)=23.
5. Сравнение коэффициента при x: 4a+b=5. Подстановка x=2: 5·(2) + c=−2, откуда c=−12. Свободный член исходной формы — 4b=c, поэтому b=−3. Затем a=(5−(−3))/4=2. Проверка: P(x)≡5x − 12 и P(2)=−2.
6. Сравнение коэффициента при x: 3a+b=−1. Подстановка x=1: −1·(1) + c=14, откуда c=15. Свободный член исходной формы — 3b=c, поэтому b=5. Затем a=(−1−(5))/3=−2. Проверка: P(x)≡−1x + 15 и P(1)=14.
7. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=7. Подстановка x=−2: 7·(−2) + c=−16, откуда c=−2. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=−1. Затем a=(7−(−1))/2=4. Проверка: P(x)≡7x − 2 и P(−2)=−16.
8. Сравнение коэффициента при x: 4a+b=6. Подстановка x=3: 6·(3) + c=26, откуда c=8. Свободный член исходной формы — 4b=c, поэтому b=2. Затем a=(6−(2))/4=1. Проверка: P(x)≡6x + 8 и P(3)=26.
9. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=−4. Подстановка x=2: −4·(2) + c=−4, откуда c=4. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=2. Затем a=(−4−(2))/2=−3. Проверка: P(x)≡−4x + 4 и P(2)=−4.
10. Сравнение коэффициента при x: 1a+b=1. Подстановка x=4: 1·(4) + c=0, откуда c=−4. Свободный член исходной формы — 1b=c, поэтому b=−4. Затем a=(1−(−4))/1=5. Проверка: P(x)≡1x − 4 и P(4)=0.
11. Сравнение коэффициента при x: 5a+b=11. Подстановка x=−1: 11·(−1) + c=−6, откуда c=5. Свободный член исходной формы — 5b=c, поэтому b=1. Затем a=(11−(1))/5=2. Проверка: P(x)≡11x + 5 и P(−1)=−6.
12. Сравнение коэффициента при x: 3a+b=3. Подстановка x=−2: 3·(−2) + c=12, откуда c=18. Свободный член исходной формы — 3b=c, поэтому b=6. Затем a=(3−(6))/3=−1. Проверка: P(x)≡3x + 18 и P(−2)=12.
13. Сравнение коэффициента при x: 3a+b=7. Подстановка x=0: 7·(0) + c=−6, откуда c=−6. Свободный член исходной формы — 3b=c, поэтому b=−2. Затем a=(7−(−2))/3=3. Проверка: P(x)≡7x − 6 и P(0)=−6.
14. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=−3. Подстановка x=4: −3·(4) + c=−22, откуда c=−10. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=−5. Затем a=(−3−(−5))/2=1. Проверка: P(x)≡−3x − 10 и P(4)=−22.
15. Сравнение коэффициента при x: 1a+b=7. Подстановка x=−3: 7·(−3) + c=−18, откуда c=3. Свободный член исходной формы — 1b=c, поэтому b=3. Затем a=(7−(3))/1=4. Проверка: P(x)≡7x + 3 и P(−3)=−18.
16. Сравнение коэффициента при x: 2a+b=7. Подстановка x=2: 7·(2) + c=28, откуда c=14. Свободный член исходной формы — 2b=c, поэтому b=7. Затем a=(7−(7))/2=0. Проверка: P(x)≡7x + 14 и P(2)=28.
17. Сравнение коэффициента при x: 4a+b=16. Подстановка x=1: 16·(1) + c=32, откуда c=16. Свободный член исходной формы — 4b=c, поэтому b=4. Затем a=(16−(4))/4=3. Проверка: P(x)≡16x + 16 и P(1)=32.
18. Сравнение коэффициента при x: 3a+b=5. Подстановка x=5: 5·(5) + c=22, откуда c=−3. Свободный член исходной формы — 3b=c, поэтому b=−1. Затем a=(5−(−1))/3=2. Проверка: P(x)≡5x − 3 и P(5)=22.

Критерий полного ответа: найдены a, b и c (где требуется), доказано равенство коэффициентов после раскрытия скобок и проверено указанное значение P(t). Если два коэффициента совпали, но подстановка не совпала, вернитесь к знакам и свободному члену. Если значение совпало, но коэффициент при x — нет, случайная подстановка не заменяет тождества.