Восстановление коэффициентов тождества с разными знаками перед скобками — рабочий лист для 7 класса

7 класс · Многочлены. В тождестве коэффициенты при одинаковых степенях x должны совпадать. По этому правилу можно восстановить неизвестные числа a и b, даже если перед скобками стоят разные знаки.

Исследуем знак и коэффициент

Наблюдение: −(ax − b) + (3x + 4) = (3 − a)x + (b + 4). Если справа написано x + 10, сравнение коэффициентов даёт 3 − a = 1 и b + 4 = 10. Следовательно, a = 2, b = 6. Подстановка показывает: −(2x − 6) + (3x + 4) = x + 10 при любом x.

Сформулируйте правило: после раскрытия скобок коэффициенты при x сравниваются с коэффициентами при x, а свободные члены — со свободными. Нельзя определять оба неизвестных одним равенством, полученным подстановкой только одного числа вместо x.

Проверьте гипотезу контрпримером

Школьник решил, что из равенства при x = 0 автоматически следует тождество. Сравните выражения 2x + 5 и 7x + 5: при x = 0 они равны 5, а при x = 1 получаем 7 и 12. Поэтому для восстановления коэффициентов тождества требуется сравнивать одноимённые члены, а не только значения.

Карточки исследования: 14 тождеств

Во всех карточках вместо a и b нужно подставить числа, чтобы равенство было верно при каждом x. Сначала приведите левую часть к виду Kx + C, затем составьте два уравнения. После решения выполните обратную проверку.

1. Найдите a и b: −(ax − b) + (1x + 2) = 3 − x.
2. Найдите a и b: (ax + b) − (3x − 7) = 2x + 12.
3. Найдите a и b: −(ax + b) − (5x − 4) = −13x − 5.
4. Найдите a и b: −(ax − b) + (1x − 9) = −3x − 5.
5. Найдите a и b: (3x − 6) − (ax + b) = −4x − 14.
6. Найдите a и b: (ax − b) − (5x + 3) = −2x − 6.
7. Найдите a и b: −(ax − b) + (1x + 8) = 15 − 5x.
8. Найдите a и b: (ax + b) − (3x − 5) = 7 − x.
9. Найдите a и b: −(ax + b) − (5x − 2) = −10x − 4.
10. Найдите a и b: −(ax − b) + (1x − 7) = −7x − 6.
11. Найдите a и b: (3x − 4) − (ax + b) = −x − 9.
12. Найдите a и b: (ax − b) − (5x + 9) = 2x − 18.
13. Найдите a и b: −(ax − b) + (1x + 6) = 10 − 2x.
14. Найдите a и b: (ax + b) − (3x − 3) = 3x + 11.

Полные решения и обратная проверка

1. a = 2, b = 1. После раскрытия скобок: −ax + b + x + 2. Сравнение даёт 1 − a = -1 и b + 2 = 3; обратная подстановка даёт 3 − x.
2. a = 5, b = 5. После раскрытия скобок: ax + b − 3x + 7. Сравнение даёт a − 3 = 2 и b + 7 = 12; обратная подстановка даёт 2x + 12.
3. a = 8, b = 9. После раскрытия скобок: −ax − b − 5x + 4. Сравнение даёт −a − 5 = -13 и 4 − b = -5; обратная подстановка даёт −13x − 5.
4. a = 4, b = 4. После раскрытия скобок: −ax + b + x − 9. Сравнение даёт 1 − a = -3 и b − 9 = -5; обратная подстановка даёт −3x − 5.
5. a = 7, b = 8. После раскрытия скобок: −ax − b + 3x − 6. Сравнение даёт 3 − a = -4 и −b − 6 = -14; обратная подстановка даёт −4x − 14.
6. a = 3, b = 3. После раскрытия скобок: ax − b − 5x − 3. Сравнение даёт a − 5 = -2 и −b − 3 = -6; обратная подстановка даёт −2x − 6.
7. a = 6, b = 7. После раскрытия скобок: −ax + b + x + 8. Сравнение даёт 1 − a = -5 и b + 8 = 15; обратная подстановка даёт 15 − 5x.
8. a = 2, b = 2. После раскрытия скобок: ax + b − 3x + 5. Сравнение даёт a − 3 = -1 и b + 5 = 7; обратная подстановка даёт 7 − x.
9. a = 5, b = 6. После раскрытия скобок: −ax − b − 5x + 2. Сравнение даёт −a − 5 = -10 и 2 − b = -4; обратная подстановка даёт −10x − 4.
10. a = 8, b = 1. После раскрытия скобок: −ax + b + x − 7. Сравнение даёт 1 − a = -7 и b − 7 = -6; обратная подстановка даёт −7x − 6.
11. a = 4, b = 5. После раскрытия скобок: −ax − b + 3x − 4. Сравнение даёт 3 − a = -1 и −b − 4 = -9; обратная подстановка даёт −x − 9.
12. a = 7, b = 9. После раскрытия скобок: ax − b − 5x − 9. Сравнение даёт a − 5 = 2 и −b − 9 = -18; обратная подстановка даёт 2x − 18.
13. a = 3, b = 4. После раскрытия скобок: −ax + b + x + 6. Сравнение даёт 1 − a = -2 и b + 6 = 10; обратная подстановка даёт 10 − 2x.
14. a = 6, b = 8. После раскрытия скобок: ax + b − 3x + 3. Сравнение даёт a − 3 = 3 и b + 3 = 11; обратная подстановка даёт 3x + 11.

Самопроверка: три вопроса

• Почему знак минус перед скобкой меняет не только коэффициент при x, но и свободный член?
• Какой паре коэффициентов соответствует уравнение для a?
• Почему проверка при x = 0 и x = 1 полезна, но доказательство тождества лучше проводить сравнением всех коэффициентов?

Точная проверка для любого найденного ответа: подставьте a и b в исходную левую часть, раскройте скобки и убедитесь, что получилась правая часть с тем же коэффициентом при x и тем же свободным членом. Тогда равенство верно для любого действительного x.

Два дополнительных доказательства для исследования

Случай двух минусов. В тождестве −(ax + b) − (2x − 7) = −5x + 3 нужно особенно внимательно отнестись к свободным членам. Слева после раскрытия скобок получаем (−a − 2)x + (−b + 7). Сравниваем коэффициенты: −a − 2 = −5, значит a = 3; −b + 7 = 3, значит b = 4. Проверка: −(3x + 4) − (2x − 7) = −3x − 4 − 2x + 7 = −5x + 3. Здесь оба значения получены из двух независимых уравнений.

Случай, когда коэффициент положительный, а скобка отрицательная. Пусть −(ax − b) + (6x − 2) = 2x + 5. Преобразуем: (6 − a)x + (b − 2) = 2x + 5. Тогда 6 − a = 2 и b − 2 = 5, поэтому a = 4, b = 7. Проверка по исходной записи: −(4x − 7) + 6x − 2 = −4x + 7 + 6x − 2 = 2x + 5. Важная идея: минус перед скобкой превращает −b внутри скобки в +b снаружи.

Иногда два уравнения дают противоречие: например, если слева после раскрытия скобок свободный член равен 5, а справа требуется 6, и неизвестных в свободном члене нет. Тогда подобрать значение a нельзя; тождество невозможно. В наших четырнадцати карточках оба коэффициента зависят от неизвестных так, что получается единственная пара решений. Это стоит проверять, прежде чем начинать вычисления.

Чтобы проверить свой ответ без большого количества повторных вычислений, сначала отметьте, где именно находится неизвестный коэффициент: при x или при единице. Затем получите коэффициенты левой части, решите два коротких линейных уравнения и лишь после этого вернитесь к исходным скобкам. Этот порядок обычно надёжнее подбора чисел по одной подстановке.