Восстановление коэффициентов тождества с взаимным уничтожением старших членов — математический практикум для 7 класса

7 класс · многочлены · тождества. Главный вопрос практикума: при каких неизвестных коэффициентах старшие степени исчезают после сложения или вычитания многочленов? Цель — не угадать число по отдельному значению переменной, а доказать равенство при любом допустимом x.

Подозрительное равенство: почему проверка одного числа обманывает?

Возьмём (a·x² + 3x + 2) + (−4x² + bx + 5) ≡ 12x + 7. При x=0 обе части равны 7 для любых a и b. Но это не доказывает тождество: коэффициент при x² должен быть нулём, а коэффициент при x — равняться 12. Поэтому a−4=0 и b+3=12, откуда a=4, b=9. После подстановки сумма действительно упрощается до 12x+7.

Слово «тождество» означает, что равенство верно для всех x из области определения. Для многочленов над действительными числами достаточно раскрыть скобки и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях. Если слева после упрощения остался член x², а справа его нет, коэффициент x² обязан быть равен нулю. Аналогично для x³ и всех других степеней. Это сравнение коэффициентов надёжнее подстановки одного удобного числа.

Доказательство через коэффициенты

Чтобы подтвердить вывод, записывайте три шага: раскройте скобки, соберите подобные слагаемые, сравните коэффициенты. Это не просто вычислительная техника: когда каждый коэффициент совпадает, разность двух многочленов тождественно равна нулю. Если хотя бы один коэффициент не совпадает, равенство для всех x невозможно.

Практикум: восстановите коэффициенты и обоснуйте

1. Подберите a и b, чтобы (a·x² + 3x + 2) + (−4x² + b·x + 5) ≡ 12x + 7. Почему квадратный член исчезает?
2. Подберите a и b, чтобы (a·x² − 2x + 4) + (6x² + b·x − 1) ≡ 7x + 3. Почему квадратный член исчезает?
3. Подберите a и b, чтобы (a·x² + 5x − 3) + (−7x² + b·x + 6) ≡ 2x + 3. Почему квадратный член исчезает?
4. Подберите a и b, чтобы (a·x² + 4x + 1) + (9x² + b·x + 8) ≡ −5x + 9. Почему квадратный член исчезает?
5. Найдите коэффициенты в (a·x² + b·x + 8) − (3x² + 2x + 3) ≡ 9x + 5. Объясните, почему нельзя проверять только x = 1.
6. Найдите коэффициенты в (a·x² + b·x + 1) − (−5x² + 4x + 7) ≡ −2x − 6. Объясните, почему нельзя проверять только x = 1.
7. Найдите коэффициенты в (a·x² + b·x + 5) − (8x² − 3x − 2) ≡ 6x + 7. Объясните, почему нельзя проверять только x = 1.

Следующий уровень: исчезают сразу две старшие степени

1. В тождестве (a·x³ + b·x² + 4x + 3) + (−2x³ + 5x² + 7x + 1) ≡ 11x + 4 восстановите a и b. Почему здесь нужно два условия?
2. В тождестве (a·x³ + b·x² − 1x + 2) + (4x³ − 3x² + 5x − 2) ≡ 4x + 0 восстановите a и b. Почему здесь нужно два условия?
3. В тождестве (a·x³ + b·x² + 2x + 4) + (−6x³ + 7x² − 3x + 5) ≡ −1x + 9 восстановите a и b. Почему здесь нужно два условия?

Ловушки тождества — неоднозначность и противоречие

1. В записи (a·x² + 4x + 3) + (−a·x² − 4x + 8) ≡ 11 нужно найти единственное a. Существует ли оно?
2. Условие: (a·x² + 2x + 6) + (−5x² + b·x + 1) ≡ 9x + 8. Можно ли подобрать a и b?
3. Ученик утверждает: (3x² + ax + 4) − (3x² + 5x − 1) ≡ 2x + 5, потому что при x=0 обе стороны равны 5. Достаточна ли проверка?

Для задач с кубическим членом не нужно вычислять значения x³ при больших x: достаточно последовательно приравнять нулю коэффициенты x³ и x². После этого проверьте коэффициенты при x и свободные члены, чтобы не пропустить противоречие.

Подробный ключ и критерии доказательства

1. При x²: a − 4 = 0, значит a = 4. При x: 3 + b = 12, поэтому b = 9. Свободный член: 2 + 5 = 7. После подстановки обе части совпадают при любом x.
2. При x²: a + 6 = 0, значит a = −6. При x: −2 + b = 7, поэтому b = 9. Свободный член: 4 − 1 = 3. После подстановки обе части совпадают при любом x.
3. При x²: a − 7 = 0, значит a = 7. При x: 5 + b = 2, поэтому b = −3. Свободный член: −3 + 6 = 3. После подстановки обе части совпадают при любом x.
4. При x²: a + 9 = 0, значит a = −9. При x: 4 + b = −5, поэтому b = −9. Свободный член: 1 + 8 = 9. После подстановки обе части совпадают при любом x.
5. Вычитаемый коэффициент x² равен 3, следовательно a=3. Для x получаем b−(2)=9, откуда b=11. Разность свободных членов 8−(3)=5. Проверка только при одном x не доказывает тождество.
6. Вычитаемый коэффициент x² равен −5, следовательно a=−5. Для x получаем b−(4)=−2, откуда b=2. Разность свободных членов 1−(7)=−6. Проверка только при одном x не доказывает тождество.
7. Вычитаемый коэффициент x² равен 8, следовательно a=8. Для x получаем b−(−3)=6, откуда b=3. Разность свободных членов 5−(−2)=7. Проверка только при одном x не доказывает тождество.
8. Старший член x³ исчезает, если a=2, а член x² — если b=−5. Тогда коэффициент x равен 4+(7)=11, свободный член 3+(1)=4. Равенство выполняется при любом x.
9. Старший член x³ исчезает, если a=−4, а член x² — если b=3. Тогда коэффициент x равен −1+(5)=4, свободный член 2+(−2)=0. Равенство выполняется при любом x.
10. Старший член x³ исчезает, если a=6, а член x² — если b=−7. Тогда коэффициент x равен 2+(−3)=−1, свободный член 4+(5)=9. Равенство выполняется при любом x.
11. Любое действительное a подходит: a·x² и −a·x² уничтожаются при любом значении коэффициента. Коэффициенты x также взаимно уничтожаются, а 3+8=11. Единственного a нет.
12. Нет. Можно занулить x², взяв a=5, и получить нужный коэффициент при x, взяв b=7. Но свободный член слева равен 6+1=7, а справа 8. Поэтому тождества не существует.
13. Недостаточна. После раскрытия скобок получаем (a−5)x+5. Для тождества нужно a−5=2, то есть a=7. При a=6 и x=0 равенство тоже верно, но при x=1 становится неверным.

Самопроверка: у каждой задачи укажите, какой коэффициент уничтожает старший член, где определяется второй неизвестный и что происходит со свободным членом. Если получился ответ «решений нет» или «подходит любое число», обоснуйте его тем же сравнением коэффициентов. Тождества нельзя считать доказанными по одной или двум случайным подстановкам без раскрытия скобок.