Восстановление количества благоприятных исходов при использовании дерева вероятностей: тематические карточки для 10 класса

10 класс · Практическая карточка. Класс выбирает одну из двух лабораторий, а затем предмет из выбранного набора. Маршруты на дереве вероятностей имеют разные веса, поэтому считать число конечных ветвей как долю вероятности нельзя.

Учебная цель: восстанавливать благоприятные исходы внутри ветвей, вычислять веса путей и проверять согласованность данных.

Ситуация: наборы учебных датчиков

Перед проверкой выбирают кабинет A с вероятностью 2/5 или кабинет Б с вероятностью 3/5. В кабинете A 5 датчиков, 3 исправных; в кабинете Б 10 датчиков, 4 исправных. Внутри выбранного кабинета датчики равновозможны. Результат опыта — кабинет и состояние датчика.

Один узел дерева соответствует выбору кабинета, следующий — состоянию. Для каждого пути умножают условные вероятности, для нескольких непересекающихся путей — складывают. Всего четыре крупные ветви, из них две ведут к исправному датчику, однако вероятность исправности не 2/4: веса этих ветвей неравны.

Шесть связанных вопросов

1. Сколько исправных датчиков даёт благоприятный исход при выборе A и какова условная доля?
2. Сколько благоприятных датчиков в Б и какова условная доля?
3. Найдите вес пути A → исправен.
4. Найдите вес пути Б → исправен.
5. Восстановите общую вероятность исправности и докажите, что 2/4 не подходит.
6. При условии исправности определите, с какой вероятностью выбран A.

Разбор

1. 3 из 5; P(исправен | A)=3/5.
2. 4 из 10; P(исправен | Б)=4/10=2/5.
3. P(A)·P(исправен | A)=(2/5)·(3/5)=6/25.
4. P(Б)·P(исправен | Б)=(3/5)·(4/10)=6/25.
5. 6/25+6/25=12/25. Два благоприятных из четырёх крупно обозначенных путей не равновозможны; 2/4=1/2 — неправильный ответ.
6. P(A | исправен)=(6/25)/(12/25)=1/2. Здесь одинаковы именно веса двух благоприятных путей, а не автоматически все четыре.

Меняем данные: восстанавливаем неизвестное число

Для нового эксперимента выбирают кабинет В с вероятностью 1/4 или кабинет Г с вероятностью 3/4. В кабинете В 8 устройств, 2 исправных. В кабинете Г 6 устройств, исправных x. Общая вероятность исправности по наблюдению равна 7/16. Выясните x и проверьте возможный диапазон.

1. Какова доля исправных устройств в В и вес пути В → исправен?
2. Выразите вес пути Г → исправен через x.
3. Восстановите x по итоговой вероятности 7/16.
4. Проверьте сумму всех четырёх конечных ветвей при x=3.
5. Какова вероятность того, что устройство взято из Г, если оно исправно?
6. В журнале общая вероятность исправности указана как 9/10 при тех же размере наборов и способе выбора. Возможно ли это?

Полный ключ второй модели

1. 2/8=1/4; (1/4)·(1/4)=1/16.
2. (3/4)·(x/6)=x/8.
3. 1/16+x/8=7/16, откуда x/8=6/16=3/8, следовательно x=3. Условие 0 ≤ x ≤ 6 выполнено.
4. В → исправен: 1/16; В → неисправен: 3/16; Г → исправен: 3/8; Г → неисправен: 3/8. Сумма 1/16+3/16+6/16+6/16=1.
5. P(Г | исправен)=(3/8)/(7/16)=6/7.
6. Нет. Даже при всех шести исправных в Г максимум (1/4)·(2/8)+(3/4)·1=1/16+3/4=13/16, что меньше 9/10.

Проверка разумности

Чтобы восстановить число исправных из наблюдаемой вероятности, нужно знать вероятности выбора кабинетов и количество устройств в каждом. При неверно заданном общем шансе уравнение может потребовать отрицательное или слишком большое число устройств. Сравнивайте вычисленное количество с целыми значениями от 0 до ёмкости набора. Слово «благоприятный исход» в дереве не освобождает от учёта вероятностей ветвей: число физических благоприятных предметов и вероятность их выбрать — разные величины.

Три различных смысла слова «исход»

Первый смысл — конкретный физический предмет. В кабинете A благоприятных предметов три, в кабинете Б — четыре; эти числа относятся к двум разным наборам и не образуют автоматически семь равновозможных исходов одного опыта. Второй смысл — одна конечная ветвь дерева, например «кабинет A, исправный датчик». Конечных ветвей в нашей таблице четыре, но их веса 6/25, 4/25, 6/25, 9/25 различаются. Третий смысл — элементарный равновозможный исход при специальном более подробном описании. Только при действительно одинаковых шансах элементарных исходов допустимо брать отношение их количеств.

Поэтому при восстановлении числа исправных сначала записывают условную вероятность внутри конкретного набора: x/6, если в нём всего шесть предметов. Затем умножают её на вероятность попадания в этот набор: (3/4)·(x/6). Если смешать эти этапы, легко получить целое число x, которое выглядит правдоподобно, но не совпадает с наблюдаемым итогом. Обратная подстановка в дерево обязательна.

Как проверить предельные случаи

В новом опыте с кабинетами В и Г неизвестное x может изменяться от 0 до 6. При x=0 исправность возможна только через В, и её общая вероятность равна 1/16. При x=6 вероятность через Г равна 3/4, а суммарный шанс равен 13/16. Все промежуточные допустимые целые x создают равномерно расположенные вероятности с шагом 1/8. Поэтому q=7/16 допустима и даёт x=3, а q=9/10 заведомо невозможна. Такой анализ часто экономит время и помогает найти неверно переписанную дробь.