Восстановление количества благоприятных исходов при условии первого удачного испытания — задачи с решениями для 10 класса

10 класс · Практическая карточка. Разбираем запись ученика, который посчитал вероятность второго успеха после первого, но не пересчитал состав набора. Вторая попытка производится без возвращения, если не сказано иное.

Учебная цель: отличать совместную вероятность от условной и восстанавливать число благоприятных объектов после первого удачного испытания.

Неверное решение — найдите причину

В пакете 9 билетов, 5 из них выигрышные. Ученик написал: «Раз первый билет выигрышный, второй тоже выиграет с вероятностью 5/9». Ошибка: после первого успеха остаётся 4 выигрышных из 8 билетов, поэтому P(второй успех | первый успех) = 4/8 = 1/2. Условие «первый успех» не требует ещё раз умножать на вероятность первого успеха.

1. В наборе 6 карточек, из них 3 удачные. После удачного первого выбора записали вероятность второго успеха 3/6. Исправьте.
2. В наборе 9 шариков, 4 белых. После первого белого утверждают, что для второго есть 4 благоприятных шарика. Верно?
3. В 10 испытательных карточках 6 отмеченных. Для вероятности второго успеха при условии первого успеха ученик вычислил (6/10)·(5/9). Что он нашёл?
4. В коробке 8 жетонов, 5 полезных. Ученик правильно убрал один полезный, но написал 4/8. Исправьте.
5. В мешке 7 шаров и ни одного красного. Можно ли вычислить P(второй красный | первый красный) = −1/6?
6. В наборе 7 билетов 3 призовых. После первого приза билет вернули, перемешали и берут снова. Ученик написал 2/6. Где ошибка?

Исправления шести ошибок

1. При отсутствии возвращения осталось 2 удачные из 5: 2/5. Числитель и знаменатель уменьшились на 1.
2. Нет: один белый уже изъят. Осталось 3 благоприятных и 8 всего, условная вероятность 3/8.
3. Он нашёл совместную вероятность двух успехов: 1/3. Условная вероятность второго успеха при известном первом равна 5/9.
4. Вместо 4/8 нужно 4/7: число всех оставшихся объектов стало 7.
5. Нет. Событие «первый красный» невозможно, поэтому условная вероятность при нулевой вероятности условия не определена; отрицательная доля бессмысленна.
6. При возвращении состав восстановился, поэтому вероятность нового выигрыша 3/7, а не 2/6.

Закрепление: восстановите благоприятные исходы

Во всех заданиях 7–14 первый извлечённый предмет был удачным и не возвращался. Назовите число оставшихся удачных предметов и условную вероятность успеха на втором шаге. В заданиях 15–16 по условной вероятности восстановите первоначальное число удачных предметов.

1. Изначально 9 объектов, удачных 5. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
2. Изначально 11 объектов, удачных 4. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
3. Изначально 12 объектов, удачных 7. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
4. Изначально 8 объектов, удачных 2. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
5. Изначально 15 объектов, удачных 10. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
6. Изначально 10 объектов, удачных 1. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
7. Изначально 13 объектов, удачных 9. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
8. Изначально 6 объектов, удачных 2. После одного успеха сколько удачных исходов осталось на втором шаге и какова их доля?
9. Было 9 предметов. После первого успеха без возвращения вероятность второго успеха равна 3/8. Сколько удачных предметов было первоначально?
10. Было 11 предметов. После первого успеха без возвращения вероятность второго успеха равна 7/10. Сколько удачных предметов было первоначально?

Ключ к закреплению

1. Осталось 4 удачных из 8. P = 1/2; первоначальный успех возможен, так как 5 ≥ 1.
2. Осталось 3 удачных из 10. P = 3/10; первоначальный успех возможен, так как 4 ≥ 1.
3. Осталось 6 удачных из 11. P = 6/11; первоначальный успех возможен, так как 7 ≥ 1.
4. Осталось 1 удачных из 7. P = 1/7; первоначальный успех возможен, так как 2 ≥ 1.
5. Осталось 9 удачных из 14. P = 9/14; первоначальный успех возможен, так как 10 ≥ 1.
6. Осталось 0 удачных из 9. P = 0; первоначальный успех возможен, так как 1 ≥ 1.
7. Осталось 8 удачных из 12. P = 2/3; первоначальный успех возможен, так как 9 ≥ 1.
8. Осталось 1 удачных из 5. P = 1/5; первоначальный успех возможен, так как 2 ≥ 1.
9. (k − 1)/8 = 3/8; k − 1 = 3, поэтому k = 4; первоначально k ≤ 9.
10. (k − 1)/10 = 7/10; k − 1 = 7, поэтому k = 8; первоначально k ≤ 11.

Правило проверки: если исходно N предметов и K удачных (K ≥ 1), то после первого успеха без возвращения благоприятных стало K − 1, возможных N − 1. Поэтому доля (K − 1)/(N − 1). Если предмет возвращают, условие меняется: снова K/N. Никогда не считайте отрицательное количество благоприятных исходов.