Восстановление координат конца вектора для диагоналей параллелограмма — упражнения разной сложности, 9 класс

Печатный лист для 9 класса. Условие: ABCD — невырожденный параллелограмм, вершины записаны в порядке обхода. Его диагонали AC и BD имеют общую середину O. Поэтому A+C=B+D, а C=B+D−A. Это не формула длины диагонали, а равенство координатных пар.

Проверка перед началом: если известны A=(1; 1), B=(5; 1), D=(2; 4), то C=(6; 4), O=((1+6)/2; (1+4)/2)=(7/2; 5/2). По второй диагонали O=((5+2)/2; (1+4)/2) — совпадает.

Вариант I — построение недостающей вершины

Для каждого номера запишите сумму противоположных вершин; проверьте, что она совпадает для двух диагоналей. Там, где указан O, сначала удвойте координаты середины.

1. Даны A=(0; 0), B=(3; 1), D=(1; 4). Найдите конец диагонали AC, то есть вершину C.
2. Даны A=(2; 1), B=(6; 2), C=(7; 6). Найдите вершину D по совпадению середин диагоналей.
3. Даны A=(-2; 0), B=(2; 1) и O=(1; 5/2) — середина обеих диагоналей. Найдите C и D.
4. Даны A=(1; -3), C=(2; 1), D=(-1; 0). Восстановите B — начало диагонали BD.
5. Известны A=(-3; 1), B=(1; 2), D=(-2; 6). Восстановите C и координаты вектора AC.
6. Даны B=(4; 1), C=(5; 5), D=(1; 3). Восстановите A, второй конец диагонали AC.
7. Даны A=(2; 2), B=(7; 4), C=(8; 10). Найдите вершину D по совпадению середин диагоналей.
8. Даны A=(-4; -2), B=(0; -1), D=(-2; 3). Найдите конец диагонали AC, то есть вершину C.
9. Известны A=(1; 2), B=(2; 7), C=(-1; 9). Восстановите D и координаты BD.

Вариант II — переход от диагонали к координатам

Во втором варианте чаще приходится восстанавливать вершину через середину или находить компоненты самого вектора диагонали. Не путайте запись точки C с вектором AC: у них разные координаты, если A не начало координат.

10. Даны A=(-1; 2), B=(3; 5) и O=(3/2; 6) — середина обеих диагоналей. Найдите C и D.
11. Даны B=(7; -2), C=(8; 3), D=(3; 1). Восстановите A, второй конец диагонали AC.
12. Даны A=(-3; -3), C=(3; 5), D=(-1; 2). Восстановите B — начало диагонали BD.
13. Даны A=(4; 1), B=(5; 5), D=(0; 3). Найдите конец диагонали AC, то есть вершину C.
14. Известны A=(-2; 4), B=(2; 5), D=(-3; 8). Восстановите C и координаты вектора AC.
15. Даны A=(0; -5), B=(2; -3), C=(6; -2). Найдите вершину D по совпадению середин диагоналей.
16. Известны A=(-1; -2), B=(3; -1), C=(5; 4). Восстановите D и координаты BD.
17. Даны A=(5; 0), B=(8; 2) и O=(11/2; 3) — середина обеих диагоналей. Найдите C и D.
18. Даны A=(1; 3), C=(2; 10), D=(-2; 7). Восстановите B — начало диагонали BD.

Ключ для учителя и обоснование

• 1. C=B+D−A=(4; 5); середина AC — (2; 5/2). Проверка: A+C=B+D=(4; 5).
• 2. D=A+C−B=(3; 5). Проверка: A+C=B+D=(9; 7).
• 3. C=2O−A=(4; 5), D=2O−B=(0; 4). Проверка: A+C=B+D=(2; 5).
• 4. B=A+C−D=(4; -2). Проверка: A+C=B+D=(3; -2).
• 5. C=(2; 7); AC=C−A=(5; 6). Проверка: A+C=B+D=(-1; 8).
• 6. A=B+D−C=(0; -1). Проверка: A+C=B+D=(5; 4).
• 7. D=A+C−B=(3; 8). Проверка: A+C=B+D=(10; 12).
• 8. C=B+D−A=(2; 4); середина AC — (-1; 1). Проверка: A+C=B+D=(-2; 2).
• 9. D=(-2; 4); BD=D−B=(-4; -3). Проверка: A+C=B+D=(0; 11).
• 10. C=2O−A=(4; 10), D=2O−B=(0; 7). Проверка: A+C=B+D=(3; 12).
• 11. A=B+D−C=(2; -4). Проверка: A+C=B+D=(10; -1).
• 12. B=A+C−D=(1; 0). Проверка: A+C=B+D=(0; 2).
• 13. C=B+D−A=(1; 7); середина AC — (5/2; 4). Проверка: A+C=B+D=(5; 8).
• 14. C=(1; 9); AC=C−A=(3; 5). Проверка: A+C=B+D=(-1; 13).
• 15. D=A+C−B=(4; -4). Проверка: A+C=B+D=(6; -7).
• 16. D=(1; 3); BD=D−B=(-2; 4). Проверка: A+C=B+D=(4; 2).
• 17. C=2O−A=(6; 6), D=2O−B=(3; 4). Проверка: A+C=B+D=(11; 6).
• 18. B=A+C−D=(5; 6). Проверка: A+C=B+D=(3; 13).

Две проверки, которые ловят большинство ошибок

Во-первых, вычислите середину AC по формуле ((xₐ+x꜀)/2; (yₐ+y꜀)/2), затем независимо середину BD. Если середины разные, одна из вершин получена неверно. Во-вторых, сопоставьте противоположные стороны: AB и DC должны иметь одинаковые компоненты, AD и BC — также одинаковые. Оба контроля применимы к любому невырожденному параллелограмму, даже если рисунок наклонён.

Например, в упражнении 1 ABCD получаем C=(4; 5), поэтому AB=(3; 1) и DC=C−D=(3; 1). Диагонали имеют общую середину (2; 5/2). Если бы вместо C была ошибочно поставлена сумма A+B+D, совпадение середин сразу нарушилось бы.

Для самостоятельной работы выделите 15–20 минут на вариант и 5 минут на взаимную проверку. Поскольку вычисления координатные, рисовать фигуру в масштабе необязательно, но полезно: рисунок обнаруживает перестановку вершин и неверное направление отрезка.