Восстановление координаты точки для диагоналей куба — математический практикум для 10 класса

Тест: восстановите точку на пространственной диагонали куба

В этих задачах рёбра куба параллельны осям координат. Противоположные вершины A = (a; b; c) и G = (a + s; b + s; c + s), где s > 0. Пространственные диагонали пересекаются в общем центре M. Поэтому M = (A + G)/2, а G = 2M − A. В отличие от диагонали грани, пространственная диагональ идёт между противоположными вершинами через внутренность куба.

Вопросы разного типа: восстановление координат, проверка неверного вывода, анализ центра и одного ограничения. Записывайте координаты тройками (x; y; z). В заданиях на точку, делящую диагональ, используйте пропорции при параметризации A + t(G − A), где 0 ≤ t ≤ 1.

12 вопросов — по 1 баллу

1. Куб: A = (1; 2; 3), G = (5; 6; 7). Найдите центр M.
2. A = (−2; 0; 4), M = (1; 3; 7). Восстановите G.
3. A = (0; −1; 2), G = (6; 5; 8). Точка T делит AG от A в отношении AT:TG = 1:2. Найдите T.
4. A = (−3; 2; 1), G = (1; 6; 5). Ученик назвал M = (−1; 2; 3). Найдите ошибку.
5. Центр M = (2; −1; 4), G = (5; 2; 7). Найдите A.
6. A = (4; 1; −2), G = (8; 5; 2). Длина ребра куба?
7. A = (2; 3; 4), G = (8; 9; 10). Ученик считает M = (5; 6; 10). Исправьте.
8. A = (1; 1; 1), G = (7; 7; 7). Найдите точку диагонали на четверти пути от A к G.
9. M = (0; 2; −1), A = (−3; −1; −4). Восстановите G.
10. Куб: A = (3; 5; 7), G = (9; 11; 13). Ученик говорит, что длина пространственной диагонали равна 6√2. Верно?
11. A = (−1; 0; 2), G = (5; 6; 8). Координаты точки на трёх четвертях AG от A?
12. A = (0; 0; 0), G = (3; 4; 5). Могут ли эти точки быть противоположными вершинами куба с рёбрами, параллельными осям?

Ключ и объяснения

1. M = (3; 4; 5): каждая координата — среднее арифметическое.
2. G = (4; 6; 10) по формуле G = 2M − A.
3. T = (2; 1; 4), поскольку T = A + (G − A)/3.
4. M = (−1; 4; 3); вторая координата должна быть (2 + 6)/2 = 4.
5. A = (−1; −4; 1) по A = 2M − G.
6. s = 4. Каждая разность соответствующих координат равна 4.
7. M = (5; 6; 7); третья координата должна быть (4 + 10)/2.
8. T = (5/2; 5/2; 5/2): прибавляем четверть вектора (6; 6; 6).
9. G = (3; 5; 2), так как G = 2M − A.
10. Нет. s = 6, длина пространственной диагонали равна s√3 = 6√3.
11. T = (7/2; 9/2; 13/2): A + (3/4)(6; 6; 6).
12. Нет: для такого куба модули трёх разностей координат должны совпадать, а 3, 4, 5 различаются.

Оценка: 11–12 — отличная готовность, 8–10 — повторите обратную формулу G = 2M − A, 5–7 — потренируйте полусуммы координат, 0–4 — вернитесь к определению середины пространственного отрезка. Ошибка в № 12 связана с неверным предположением о геометрической фигуре, а не с арифметикой.