Восстановление координаты точки по двум вершинам параллелепипеда — рабочий лист для 10 класса

Рабочий лист: достаточно ли двух вершин?

Для произвольного наклонного параллелепипеда две вершины не задают остальные вершины однозначно. Во всех заданиях этого листа дан прямоугольный параллелепипед с рёбрами, параллельными осям Ox, Oy, Oz; названы концы пространственной диагонали A и G. Только при этом условии остальные вершины можно составлять, выбирая каждую координату из соответствующих координат A и G.

Нумерация A, B, C, D — нижнее основание в плоскости z = c; E, F, G, H — верхнее основание z = f. Координаты могут быть и отрицательными: «верхний» здесь означает условный второй уровень, а не обязательное положительное направление оси. При совпадении какой-либо из соответствующих координат пространственный прямоугольный параллелепипед вырождается, поэтому соответствующие координаты концов диагонали в каждом варианте различаются.

Вариант А — A = (1; −2; 3), G = (7; 4; 11)

Решайте каждое задание как восстановление набора координат, не просто вычисление расстояний. Для проверки нарисуйте два параллельных прямоугольника ABCD и EFGH, соедините A–E, B–F, C–G, D–H. Положения точек проверяются совпадением двух координат у каждого ребра.

1. Найдите B по A и G.
2. Найдите D, вершину нижнего основания на ребре параллельном Oy.
3. Восстановите E над A.
4. Восстановите F над B.
5. Восстановите H над D.
6. Найдите центр M параллелепипеда — середину AG.
7. Ученик назвал H = (7; −2; 11). Запишите настоящую H и укажите перепутанную координату.
8. Найдите C, если A и G противоположны.

Ключ варианта А

1. (7; −2; 3)
2. (1; 4; 3)
3. (1; −2; 11)
4. (7; −2; 11)
5. (1; 4; 11)
6. (4; 1; 7)
7. (1; 4; 11)
8. (7; 4; 3)

Проверка: B = (7; −2; 3). Меняется только координата x.; D = (1; 4; 3). Из G берём y; x и z — из A.; E = (1; −2; 11). У E координата z берётся из G.; F = (7; −2; 11). F использует x и z точки G и y точки A.

Вариант Б — A = (−4; 1; −1), G = (3; 6; 7)

Решайте каждое задание как восстановление набора координат, не просто вычисление расстояний. Для проверки нарисуйте два параллельных прямоугольника ABCD и EFGH, соедините A–E, B–F, C–G, D–H. Положения точек проверяются совпадением двух координат у каждого ребра.

1. Восстановите C в нижнем основании.
2. Найдите F, лежащую над B.
3. Найдите H из правила выбора координат.
4. Найдите середину пространственной диагонали AG.
5. Найдите B в основании ABCD.
6. Найдите E над A.
7. Найдите D — четвёртую вершину основания.
8. Ученик записал F = (−4; 1; 7). Какая координата у F восстановлена неверно?

Ключ варианта Б

1. (3; 6; −1)
2. (3; 1; 7)
3. (−4; 6; 7)
4. (−1/2; 7/2; 3)
5. (3; 1; −1)
6. (−4; 1; 7)
7. (−4; 6; −1)
8. (3; 1; 7)

Проверка: C = (3; 6; −1). У C z совпадает с A.; F = (3; 1; 7). Сохраняем y от A, остальные координаты G.; H = (−4; 6; 7). x от A, y и z от G.; M = (−1/2; 7/2; 3). Координаты середины — полусуммы соответствующих координат.

Подробная взаимная проверка двух вариантов

Для варианта А: восстанавливаем не произвольные точки, а вершины рёбер

При A = (1; −2; 3), G = (7; 4; 11) длины осевых рёбер равны 6, 6 и 8. У B первая координата изменяется на 6, поэтому B = (7; −2; 3); у E изменяется только высота на 8, поэтому E = (1; −2; 11). Точка F должна находиться одновременно над B и на уровне z = 11: F = (7; −2; 11). Если взять координаты F вместо H, будут перепутаны две роли: у H остаётся x = 1 от точки A, а y = 4 берётся из G. В итоге H = (1; 4; 11).

Центр M расположен в половине пути от A к G: вектор AG = (6; 6; 8), его половина (3; 3; 4), поэтому M = (4; 1; 7). Можно вычислить те же координаты и через отрезок BH: его концы B = (7; −2; 3) и H = (1; 4; 11), а середина снова (4; 1; 7). Такое совпадение служит сильной независимой проверкой.

Для варианта Б: разные длины осевых рёбер

При A = (−4; 1; −1), G = (3; 6; 7) получаем разности 7, 5 и 8. Нижний прямоугольник лежит в плоскости z = −1, поэтому C = (3; 6; −1). Верхний расположен при z = 7; F совпадает с B по первым двум координатам, значит F = (3; 1; 7). У H первая координата равна −4, а вторая — 6: H = (−4; 6; 7). Если предложен ответ H = (3; 1; 7), ученик фактически назвал F, а не H.

Середина AG здесь M = (−1/2; 7/2; 3). Дробные координаты — нормальное явление: середина отрезка не обязана попадать на целочисленную точку пространственной сетки. Для обратной проверки удвойте каждую координату M и вычтите соответствующую координату A; должна получиться точка G без округления.

Разбор неоднозначности

Если в условии оставить только «даны две вершины параллелепипеда» и убрать параллельность рёбер координатным осям, результат для B, C, D, E, F и H не будет определён однозначно: через одну и ту же диагональ можно построить разные наклонные параллелепипеды. Даже прямоугольный параллелепипед можно повернуть вокруг своей диагонали. Поэтому дополнительное условие — существенная часть решения, а не декоративная фраза.