Восстановление координаты вершины при совпадающих абсциссах — карточки с ответами, 9 класс

9 класс. Навык: восстанавливать одну координату вершины по общим абсциссам двух известных точек и условиям о фигуре. Задания 1–12 относятся к прямоугольникам, стороны которых параллельны координатным осям; задания 13–14 проверяют достаточность данных.

Проверяем спорное утверждение

«Если у двух вершин совпадают абсциссы, можно сразу найти остальные вершины». Это неверно без дополнительных условий. Равенство x_A=x_B означает, что отрезок AB вертикален (если A и B различны). Оно не указывает ширину фигуры и не гарантирует даже существование прямоугольника.

Как восстановить недостающую вершину

Для прямоугольника ABCD со сторонами, параллельными осям, если A=(x₀;y₀), B=(x₀;y₁), C=(x₁;y₁), то D=(x₁;y₀). Вертикальные стороны сохраняют x, горизонтальные — y. Проверяйте, что x₀≠x₁ и y₀≠y₁: иначе фигура выродится.

Четырнадцать задач на восстановление и доказательство

1. Задание 1. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(−4; −2), B(−4; 5), C(3; 5). Найдите координаты вершины D и докажите, что восстановление единственно.
2. Задание 2. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(2; 7), C(−5; −1), D(−5; 7). Найдите координаты вершины B и докажите, что восстановление единственно.
3. Задание 3. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(−6; 4), B(−6; 9), D(1; 4). Найдите координаты вершины C и докажите, что восстановление единственно.
4. Задание 4. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны B(5; −4), C(−3; −4), D(−3; 2). Найдите координаты вершины A и докажите, что восстановление единственно.
5. Задание 5. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(0; −7), B(0; 1), C(6; 1). Найдите координаты вершины D и докажите, что восстановление единственно.
6. Задание 6. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(−3; −5), C(7; 2), D(7; −5). Найдите координаты вершины B и докажите, что восстановление единственно.
7. Задание 7. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(6; 8), B(6; −6), D(−2; 8). Найдите координаты вершины C и докажите, что восстановление единственно.
8. Задание 8. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны B(−2; −8), C(4; −8), D(4; 3). Найдите координаты вершины A и докажите, что восстановление единственно.

Особые случаи: ноль, отрицательные координаты, недостаток сведений

1. Задание 9. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(7; −4), B(7; 10), C(−6; 10). Найдите координаты вершины D и докажите, что восстановление единственно.
2. Задание 10. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(−8; 0), C(2; 5), D(2; 0). Найдите координаты вершины B и докажите, что восстановление единственно.
3. Задание 11. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(4; −9), B(4; −2), D(−5; −9). Найдите координаты вершины C и докажите, что восстановление единственно.
4. Задание 12. Прямоугольник ABCD назван по порядку вершин, стороны параллельны осям координат. Даны A(−7; 5), B(−7; −7), C(8; −7). Найдите координаты вершины D и докажите, что восстановление единственно.
5. Задание 13. Известны только A(2; −5) и B(2; 4), причём AB — сторона прямоугольника, параллельная оси Oy. Можно ли единственным образом найти C и D?
6. Задание 14. В четырёхугольнике ABCD только условие x_A=x_B=3. Следует ли, что ABCD — прямоугольник?

Разбор решений 1–8

1. 1. D(3; −2). AD горизонтален, поэтому y_D=y_A=−2; CD вертикален, значит x_D=x_C=3. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
2. 2. B(2; −1). AB вертикален, поэтому x_B=x_A=2; BC горизонтален, значит y_B=y_C=−1. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
3. 3. C(1; 9). BC горизонтален, значит y_C=y_B=9; CD вертикален, поэтому x_C=x_D=1. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
4. 4. A(5; 2). AB вертикален, поэтому x_A=x_B=5; AD горизонтален, следовательно y_A=y_D=2. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
5. 5. D(6; −7). AD горизонтален, поэтому y_D=y_A=−7; CD вертикален, значит x_D=x_C=6. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
6. 6. B(−3; 2). AB вертикален, поэтому x_B=x_A=−3; BC горизонтален, значит y_B=y_C=2. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
7. 7. C(−2; −6). BC горизонтален, значит y_C=y_B=−6; CD вертикален, поэтому x_C=x_D=−2. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
8. 8. A(−2; 3). AB вертикален, поэтому x_A=x_B=−2; AD горизонтален, следовательно y_A=y_D=3. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.

Разбор решений 9–14

1. 9. D(−6; −4). AD горизонтален, поэтому y_D=y_A=−4; CD вертикален, значит x_D=x_C=−6. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
2. 10. B(−8; 5). AB вертикален, поэтому x_B=x_A=−8; BC горизонтален, значит y_B=y_C=5. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
3. 11. C(−5; −2). BC горизонтален, значит y_C=y_B=−2; CD вертикален, поэтому x_C=x_D=−5. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
4. 12. D(8; 5). AD горизонтален, поэтому y_D=y_A=5; CD вертикален, значит x_D=x_C=8. Проверка: AB и CD вертикальны, BC и AD горизонтальны; противоположные стороны попарно параллельны.
5. 13. Нельзя. Например, при x=6 получатся C(6;4), D(6;−5), а при x=−1 — C(−1;4), D(−1;−5). Оба прямоугольника подходят; не задана ширина или абсцисса второй вертикальной стороны.
6. 14. Нет. Совпадение абсцисс доказывает лишь вертикальность ненулевого AB. Остальные стороны могут быть наклонными. Для восстановления недостающей вершины нужны дополнительные геометрические связи.

При обратной проверке подставьте восстановленные координаты: для горизонтальной стороны разность ординат равна нулю; для вертикальной — разность абсцисс равна нулю. Не заменяйте эту проверку предположением «похоже на прямоугольник»: рисунок может быть выполнен не в масштабе.