Восстановление многозначного числа по сумме цифр и одной известной цифре — карточки с ответами, 5 класс

Когда сумму цифр недостаточно знать

Одна известная цифра и общая сумма обычно не определяют многозначное число однозначно. Например, в записи □5□ с суммой 14 обе записи 257 и 356 удовлетворяют сумме. Поэтому в каждом задании дано ещё одно точное условие о неизвестных разрядах. Нельзя угадывать число только по сумме.

Алгоритм: найдите сумму незаполненных разрядов; используйте равенство или разность между ними; убедитесь, что каждая цифра от 0 до 9, а первая цифра всего числа не ноль; сложите цифры полученного числа. Знак «+» в условии показывает увеличение, «−» — уменьшение относительно предыдущей неизвестной цифры.

Уровень 1. Два пропуска и одна известная цифра

Выполните восемь заданий без калькулятора. Сумма цифр относится ко всему числу, включая указанную цифру.

1. Восстановите число □5□, если сумма всех его цифр равна 13, а первая пропущенная цифра больше второй на 4.
2. Восстановите число 4□□, если сумма всех его цифр равна 14, а вторая пропущенная цифра больше первой на 4.
3. Восстановите число □8□, если сумма всех его цифр равна 20, а первая пропущенная цифра больше второй на 6.
4. Восстановите число □2□, если сумма всех его цифр равна 10, а обе пропущенные цифры равны.
5. Восстановите число 6□□, если сумма всех его цифр равна 15, а первая пропущенная цифра больше второй на 5.
6. Восстановите число □3□, если сумма всех его цифр равна 13, а вторая пропущенная цифра больше первой на 6.
7. Восстановите число □9□, если сумма всех его цифр равна 19, а обе пропущенные цифры равны.
8. Восстановите число 7□□, если сумма всех его цифр равна 15, а вторая пропущенная цифра больше первой на 4.

Уровень 2. Три пропуска и последовательные изменения

Теперь в записи четырёхзначного числа видна ровно одна цифра. Связи «отличается на +2» и «отличается на −3» относятся к неизвестным цифрам в порядке их появления, даже если известная цифра стоит между ними.

1. Найдите четырёхзначное □4□□: сумма цифр 15. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на +2, третья от второй — на +1.
2. Найдите четырёхзначное 5□□□: сумма цифр 17. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на -2, третья от второй — на -2.
3. Найдите четырёхзначное □□7□: сумма цифр 17. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на +2, третья от второй — на +3.
4. Найдите четырёхзначное □2□□: сумма цифр 15. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на +0, третья от второй — на -2.
5. Найдите четырёхзначное 8□□□: сумма цифр 23. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на -3, третья от второй — на -3.
6. Найдите четырёхзначное □□3□: сумма цифр 21. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на +3, третья от второй — на +3.
7. Найдите четырёхзначное □6□□: сумма цифр 18. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на -3, третья от второй — на -3.
8. Найдите четырёхзначное □□5□: сумма цифр 17. Если читать три неизвестные цифры слева направо, вторая отличается от первой на -2, третья от второй — на +4.

Уровень 3. Пять разрядов: парные неизвестные

Здесь среди четырёх закрытых разрядов две пары одинаковых цифр. Это не обязательно палиндром всего числа: известная цифра может нарушать симметрию. Используйте общую сумму и указанную разность.

1. Пять цифр: 7□□□□, их сумма 19. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на +2. Найдите число и проверьте сумму.
2. Пять цифр: □□□□6, их сумма 14. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на +2. Найдите число и проверьте сумму.
3. Пять цифр: □5□□□, их сумма 21. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на +2. Найдите число и проверьте сумму.
4. Пять цифр: 9□□□□, их сумма 31. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на +3. Найдите число и проверьте сумму.
5. Пять цифр: □□□□8, их сумма 22. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на -3. Найдите число и проверьте сумму.
6. Пять цифр: □2□□□, их сумма 16. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на +5. Найдите число и проверьте сумму.
7. Пять цифр: 4□□□□, их сумма 22. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на -3. Найдите число и проверьте сумму.
8. Пять цифр: □□□□3, их сумма 29. Среди четырёх неизвестных первая равна четвёртой, вторая — третьей; первая неизвестная отличается от второй на +3. Найдите число и проверьте сумму.

Ключ к уровню 1: решения с проверкой

1. 652. Из суммы вычитаем известную цифру 5: на два пропуска остаётся 8. По условию разности (или равенства) получаем цифры 6 и 2 слева направо. Проверка: 6 + 5 + 2 = 13.
2. 437. Из суммы вычитаем известную цифру 4: на два пропуска остаётся 10. По условию разности (или равенства) получаем цифры 3 и 7 слева направо. Проверка: 4 + 3 + 7 = 14.
3. 983. Из суммы вычитаем известную цифру 8: на два пропуска остаётся 12. По условию разности (или равенства) получаем цифры 9 и 3 слева направо. Проверка: 9 + 8 + 3 = 20.
4. 424. Из суммы вычитаем известную цифру 2: на два пропуска остаётся 8. По условию разности (или равенства) получаем цифры 4 и 4 слева направо. Проверка: 4 + 2 + 4 = 10.
5. 672. Из суммы вычитаем известную цифру 6: на два пропуска остаётся 9. По условию разности (или равенства) получаем цифры 7 и 2 слева направо. Проверка: 6 + 7 + 2 = 15.
6. 238. Из суммы вычитаем известную цифру 3: на два пропуска остаётся 10. По условию разности (или равенства) получаем цифры 2 и 8 слева направо. Проверка: 2 + 3 + 8 = 13.
7. 595. Из суммы вычитаем известную цифру 9: на два пропуска остаётся 10. По условию разности (или равенства) получаем цифры 5 и 5 слева направо. Проверка: 5 + 9 + 5 = 19.
8. 726. Из суммы вычитаем известную цифру 7: на два пропуска остаётся 8. По условию разности (или равенства) получаем цифры 2 и 6 слева направо. Проверка: 7 + 2 + 6 = 15.

Подробный разбор уровня 2

1. 2445. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x+2 и x+3. Их сумма 15 − 4 = 11; получаем x = 2. Неизвестные цифры: 2, 4, 5; контроль суммы 15.
2. 5642. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x-2 и x-4. Их сумма 17 − 5 = 12; получаем x = 6. Неизвестные цифры: 6, 4, 2; контроль суммы 17.
3. 1376. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x+2 и x+5. Их сумма 17 − 7 = 10; получаем x = 1. Неизвестные цифры: 1, 3, 6; контроль суммы 17.
4. 5253. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x+0 и x-2. Их сумма 15 − 2 = 13; получаем x = 5. Неизвестные цифры: 5, 5, 3; контроль суммы 15.
5. 8852. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x-3 и x-6. Их сумма 23 − 8 = 15; получаем x = 8. Неизвестные цифры: 8, 5, 2; контроль суммы 23.
6. 3639. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x+3 и x+6. Их сумма 21 − 3 = 18; получаем x = 3. Неизвестные цифры: 3, 6, 9; контроль суммы 21.
7. 7641. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x-3 и x-6. Их сумма 18 − 6 = 12; получаем x = 7. Неизвестные цифры: 7, 4, 1; контроль суммы 18.
8. 4256. Пусть первая неизвестная равна x. Тогда остальные x-2 и x+2. Их сумма 17 − 5 = 12; получаем x = 4. Неизвестные цифры: 4, 2, 6; контроль суммы 17.

Решения уровня 3 и контроль

1. 74224. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 19 − 7 = 12, то есть a + b = 6. С учётом a − b = 2 имеем a = 4, b = 2. Подстановка даёт 19.
2. 31136. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 14 − 6 = 8, то есть a + b = 4. С учётом a − b = 2 имеем a = 3, b = 1. Подстановка даёт 14.
3. 55335. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 21 − 5 = 16, то есть a + b = 8. С учётом a − b = 2 имеем a = 5, b = 3. Подстановка даёт 21.
4. 97447. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 31 − 9 = 22, то есть a + b = 11. С учётом a − b = 3 имеем a = 7, b = 4. Подстановка даёт 31.
5. 25528. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 22 − 8 = 14, то есть a + b = 7. С учётом a − b = -3 имеем a = 2, b = 5. Подстановка даёт 22.
6. 62116. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 16 − 2 = 14, то есть a + b = 7. С учётом a − b = 5 имеем a = 6, b = 1. Подстановка даёт 16.
7. 43663. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 22 − 4 = 18, то есть a + b = 9. С учётом a − b = -3 имеем a = 3, b = 6. Подстановка даёт 22.
8. 85583. Неизвестные имеют вид a, b, b, a. Поэтому 2a + 2b = 29 − 3 = 26, то есть a + b = 13. С учётом a − b = 3 имеем a = 8, b = 5. Подстановка даёт 29.

Как обнаружить ошибку до сдачи

Если при вычислениях вышла отрицательная цифра или число больше 9, значит, неверно использована разность либо сумма. Если первая цифра получилась нулевой, результат не является числом указанной разрядности. После проверки суммы обязательно перечитайте дополнительное условие: одна правильная сумма сама по себе не доказывает правильности ответа.