Восстановление многозначного числа с фиксированной цифрой в середине записи — тренажёр для 5 класса

Ситуация: восстановить номера четырёх контейнеров

В школьной мастерской коробки с деталями получили трёхзначные инвентарные номера. Из каждой наклейки сохранилась только цифра десятков. На обороте учитель записал сумму цифр и соотношение между цифрами сотен и единиц. Помогите восстановить именно номера коробок: это не номера квартир и не дробные числа. Первая цифра трёхзначного номера не может быть нулём.

Математическая модель

Для записи a6b сумма равна a + 6 + b. Если a больше b на 3, получаем a + b = 9 и a − b = 3. Следовательно, a = 6, b = 3 и номер 663. Для остальных строк меняются только известная цифра и разность между крайними разрядами.

Задания по ситуации

1. Восстановите номер коробки А и проверьте сумму цифр.
2. Найдите номер Б; объясните, почему цифра сотен не может быть нулём.
3. Получите номер В, используя равенство крайних цифр.
4. Найдите номер Г и перепроверьте обе подсказки.
5. Расположите восстановленные номера по возрастанию.
6. Какой номер наибольший и наименьший? Найдите их разность.
7. На сколько номер коробки А больше номера коробки В?
8. Найдите сумму номеров коробок Б и Г.
9. Сколько чётных цифр содержится в каждом восстановленном номере? Считайте цифру 0 чётной, если она встречается.
10. На какой коробке сумма цифр больше всего? На сколько она превышает наименьшую сумму?
11. Если перепутали наклейки Б и В, какой из этих номеров должен стоять раньше в возрастающем списке и какова разность между ними?
12. Контроль качества: какие две независимые проверки достаточно выполнить для каждого номера после решения?

Ключ и короткие решения

1. А — 663: 6 + 6 + 3 = 15, а 6 − 3 = 3.
2. Б — 527: на крайние разряды приходится 14 − 2 = 12; цифры 5 и 7 различаются на 2. Первая цифра 5, не 0.
3. В — 575: 17 − 7 = 10; 10 : 2 = 5 для каждого края.
4. Г — 742: 13 − 4 = 9; крайние цифры 7 и 2, разность 5.
5. По возрастанию: 527, 575, 663, 742. Сравниваем сначала сотни, затем десятки и единицы.
6. Наибольший 742, наименьший 527; разность 215.
7. 663 − 575 = 88.
8. 527 + 742 = 1269. Результат суммы двух трёхзначных номеров может иметь четыре цифры.
9. А (663) — 2 (6 и 6); Б (527) — 1 (2); В (575) — 0; Г (742) — 2 (4 и 2).
10. У коробки В: 17; наименьшая сумма у Г: 13; разность 4.
11. Б (527) стоит раньше В (575), поскольку 527 < 575. Разность 48.
12. Сначала заново сложить три цифры, затем проверить равенство либо разность крайних разрядов. Проверка одной суммы недостаточна: разные номера могут иметь одинаковую сумму цифр.

Проверка разумности результата

В каждом восстановленном номере ровно три цифры. У коробки В крайние цифры одинаковы, но это не означает, что все три равны. Числа 527 и 742 не взаимозаменяемы: у них разные центральные цифры. Эту таблицу удобно использовать как самостоятельную работу: сначала закрыть ключ и заполнить наклейки, потом перейти к вычислениям.

Четыре правила для надёжного решения

Первое правило — записывать разряды словами. В таблице a6b буква a стоит в сотнях, 6 в десятках, b в единицах. Это три отдельные цифры, поэтому запись a6b не означает произведение a × 6 × b. Когда в условии сказано, что «последняя внешняя цифра больше первой», речь идёт о b > a; иначе ответ окажется перевёрнутым.

Второе правило — использовать арифметику суммы и разности. Для коробки Б имеем a + b = 14 − 2 = 12 и b − a = 2. Складывая равенства, получаем 2b = 14; значит, b = 7 и a = 5. Это позволяет не перебирать все двузначные сочетания и не пропускать нужный вариант. Для А сумма крайних цифр 9, а разность 3, поэтому старшая крайняя цифра — (9 + 3) : 2 = 6, а младшая — (9 − 3) : 2 = 3.

Третье правило — помнить о допустимых цифрах. Число 10 не может быть цифрой единиц или сотен. Если при решении подобной системы получено 10, значит, данные несовместимы с форматом инвентарного номера. Аналогично запись 057 нельзя считать трёхзначным номером, поскольку первая цифра равна нулю. В этой таблице ни один результат не нарушает этих ограничений.

Четвёртое правило — различать цифровое условие и вычисления над номерами. Сумма цифр у Б равна 14, но сам номер Б равен 527. Когда в пятом задании нужно упорядочить номера, сравниваем числа 527, 575, 663 и 742, а не их суммы 14, 17, 15 и 13. При этом разность двух инвентарных номеров вычисляется обычным вычитанием: например, 575 − 527 = 48.

Если одна подсказка стёрлась

Представьте, что для наклейки с серединой 7 сохранилась только сумма цифр 17. Крайние цифры тогда дают в сумме 10; возможны и 179, и 278, и 575, и другие записи. Единственный ответ 575 появляется только после дополнительного условия, что крайние цифры одинаковые. Это полезная проверка постановки задачи: если данных недостаточно, нельзя произвольно выбирать «красивый» номер.

Работать с карточкой можно в три прохода: сначала восстановить наклейки, затем выполнить вычисления с уже найденными номерами и, наконец, проверить каждое решение двумя независимыми способами. Удобно закрывать готовые решения листом бумаги: структура таблицы не требует ни программы, ни калькулятора, ни интернета.

В качестве дополнительной устной проверки попросите ученика объяснить, почему в строке Б выбрана именно последовательность 5–2–7, а не 7–2–5: обе дают сумму 14, но только первая соответствует тому, что последняя внешняя цифра больше первой. Умение использовать все условия одновременно важнее скорости вычислений.