Восстановление начального значения по двум измерениям через равные интервалы — задания с разбором, 10 класс

Математика • 10 класс. Рабочий лист для печати: два полноценных варианта с восстановлением исходного значения и подробным ключом.

Памятка: что именно восстанавливаем

Показатель измеряют через одинаковые промежутки времени. Модель A(n)=A₀·qⁿ означает, что за каждый промежуток значение умножается на одно и то же положительное число q. Если q больше единицы, показатель растёт; если q между нулём и единицей, он уменьшается. Начальное значение A₀ относится именно к моменту n=0, а не к первому измерению.

Для соседних измерений A(t) и A(t+1) можно разделить второе на первое и получить q, после чего вернуться на t промежутков назад: A₀=A(t)/q^t. Формула работает при положительных показателях и неизменном коэффициенте q. Если интервалы неравны, делить значения напрямую для определения коэффициента за единицу времени нельзя.

Разобранный пример: на первой неделе учтено 45 единиц, на второй — 75. Тогда q=75/45=5/3, а A₀=45:(5/3)=27. Обратная проверка: 27·5/3=45 и 27·(5/3)²=75. Числа 45 и 75 сами по себе не являются «первоначальным количеством».

Вариант I — измерения в соседние моменты 1 и 2

Выполните задания 1–8 без калькулятора. Укажите, растёт показатель или убывает. Чтобы ответ был проверяемым, после нахождения A₀ вычислите оба известных значения модели.

1. Для модели объём накоплений A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 24 и A(2) = 48. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
2. Для модели число условных единиц A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 24 и A(2) = 36. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
3. Для модели запас вещества A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 36 и A(2) = 48. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
4. Для модели масса культуры A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 24 и A(2) = 12. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
5. Для модели объём накоплений A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 36 и A(2) = 24. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
6. Для модели число условных единиц A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 80 и A(2) = 100. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
7. Для модели запас вещества A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 90 и A(2) = 270. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
8. Для модели масса культуры A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(1) = 108 и A(2) = 162. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.

Вариант II — измерения в моменты 2 и 3

Здесь измерений в момент 1 нет. Типичная ошибка — поделить A(2) на q один раз и объявить полученное число начальным. Нужно вернуться на два равных интервала. Задания 9–16 полезно выполнять на отдельном листе с промежуточными вычислениями.

9. Для модели объём раствора A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 64 и A(3) = 128. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
10. Для модели количество единиц A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 16 и A(3) = 8. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
11. Для модели значение счётчика A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 144 и A(3) = 192. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
12. Для модели уровень показателя A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 144 и A(3) = 216. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
13. Для модели объём раствора A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 180 и A(3) = 216. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
14. Для модели количество единиц A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 80 и A(3) = 64. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
15. Для модели значение счётчика A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 250 и A(3) = 625. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.
16. Для модели уровень показателя A(n) = A₀·qⁿ получены значения A(2) = 96 и A(3) = 64. Найдите q и A₀; обратной подстановкой проверьте оба измерения.

Ключ для учителя: все вычисления и проверки

Вариант I: задания 1–8

1. 1. q = 48/24 = 2; A₀ = 24/(2)¹ = 12. Проверка: 12·(2)¹ = 24, следующее значение 48.
2. 2. q = 36/24 = 3/2; A₀ = 24/(3/2)¹ = 16. Проверка: 16·(3/2)¹ = 24, следующее значение 36.
3. 3. q = 48/36 = 4/3; A₀ = 36/(4/3)¹ = 27. Проверка: 27·(4/3)¹ = 36, следующее значение 48.
4. 4. q = 12/24 = 1/2; A₀ = 24/(1/2)¹ = 48. Проверка: 48·(1/2)¹ = 24, следующее значение 12.
5. 5. q = 24/36 = 2/3; A₀ = 36/(2/3)¹ = 54. Проверка: 54·(2/3)¹ = 36, следующее значение 24.
6. 6. q = 100/80 = 5/4; A₀ = 80/(5/4)¹ = 64. Проверка: 64·(5/4)¹ = 80, следующее значение 100.
7. 7. q = 270/90 = 3; A₀ = 90/(3)¹ = 30. Проверка: 30·(3)¹ = 90, следующее значение 270.
8. 8. q = 162/108 = 3/2; A₀ = 108/(3/2)¹ = 72. Проверка: 72·(3/2)¹ = 108, следующее значение 162.

Вариант II: задания 9–16

9. 9. q = 128/64 = 2; A₀ = 64/(2)² = 16. Проверка: 16·(2)² = 64, следующее значение 128.
10. 10. q = 8/16 = 1/2; A₀ = 16/(1/2)² = 64. Проверка: 64·(1/2)² = 16, следующее значение 8.
11. 11. q = 192/144 = 4/3; A₀ = 144/(4/3)² = 81. Проверка: 81·(4/3)² = 144, следующее значение 192.
12. 12. q = 216/144 = 3/2; A₀ = 144/(3/2)² = 64. Проверка: 64·(3/2)² = 144, следующее значение 216.
13. 13. q = 216/180 = 6/5; A₀ = 180/(6/5)² = 125. Проверка: 125·(6/5)² = 180, следующее значение 216.
14. 14. q = 64/80 = 4/5; A₀ = 80/(4/5)² = 125. Проверка: 125·(4/5)² = 80, следующее значение 64.
15. 15. q = 625/250 = 5/2; A₀ = 250/(5/2)² = 40. Проверка: 40·(5/2)² = 250, следующее значение 625.
16. 16. q = 64/96 = 2/3; A₀ = 96/(2/3)² = 216. Проверка: 216·(2/3)² = 96, следующее значение 64.

Что проверить после работы

Каждая пара измерений должна давать один и тот же q, если вычислять последовательные отношения для трёх точек. При отрицательном или нулевом наблюдении эту простую положительную модель применять нельзя без уточнений. Различайте абсолютное изменение A(t+1)−A(t) и относительное A(t+1)/A(t): первое для экспоненты обычно не постоянно, а второе постоянно.