Восстановление недостающей рациональной точки между двумя близкими отрицательными числами — самостоятельная работа, 6 класс

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Самостоятельная работа по модели температурной шкалы: отрицательные рациональные точки

Ситуация: калибровка шкалы школьного термометра

В школьной лаборатории распечатали шкалы отрицательных температур. Для каждой полоски известны две соседние подписи на краях выделенного интервала, а отметка ровно посередине стёрлась. На листах встречаются температуры ниже нуля, разница между соседними крайними точками невелика. Такая задача моделирует равномерную шкалу, а не изменение температуры во времени.

В таблице приведены левая и правая границы каждого отрезка. Школьник уже предложил среднюю точку, но в некоторых строках ошибся на одну сотую градуса. Ваша задача — вычислить точное место средней отметки, определить верность предложения и объяснить, почему число должно находиться строго внутри интервала.

Таблица исходных данных: 10 полосок

Математическая модель

Обозначим крайние координаты через a и b, причём a меньше b. Средняя координата m должна удовлетворять m − a = b − m. Отсюда 2m = a + b и m = (a + b)/2. Это равенство одинаково верно для отрицательных и положительных чисел. Запись −4,6 можно дополнить до −4,60 для аккуратного счёта сотых.

Образец: если слева −6,18 °C, а справа −6,06 °C, длина всего промежутка 0,12 °C, половина 0,06 °C. Искомая отметка −6,18 + 0,06 = −6,12 °C. Контроль: −6,06 − (−6,12) = 0,06 °C. Нельзя ставить среднюю отметку «посередине цифр» и игнорировать знак.

Самостоятельная работа: 12 связанных заданий

1. Для полоски № 1 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
2. Для полоски № 2 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
3. Для полоски № 3 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
4. Для полоски № 4 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
5. Для полоски № 5 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
6. Для полоски № 6 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
7. Для полоски № 7 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
8. Для полоски № 8 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
9. Для полоски № 9 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
10. Для полоски № 10 вычислите среднюю координату без калькулятора и определите, правильно ли её записал школьник. Приведите обе разности расстояний до границ.
11. Сравните длины всех десяти интервалов и назовите номер или номера полосок с наименьшей длиной. Запишите эту длину в градусах.
12. Назовите полосу (или полосы) с наибольшим интервалом. Объясните, почему даже здесь средняя отметка строго отрицательна, если обе крайние отметки отрицательны.

Ключ с арифметической проверкой

1. 1. Середина = (−4,05 + −3,99)/2 = −4,02 °C. Предложенная отметка −4,02 °C верна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,03 °C.
2. 2. Середина = (−4,24 + −4,16)/2 = −4,2 °C. Предложенная отметка −4,21 °C неверна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,04 °C.
3. 3. Середина = (−4,43 + −4,33)/2 = −4,38 °C. Предложенная отметка −4,37 °C неверна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,05 °C.
4. 4. Середина = (−4,62 + −4,5)/2 = −4,56 °C. Предложенная отметка −4,56 °C верна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,06 °C.
5. 5. Середина = (−4,81 + −4,67)/2 = −4,74 °C. Предложенная отметка −4,73 °C неверна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,07 °C.
6. 6. Середина = (−5 + −4,84)/2 = −4,92 °C. Предложенная отметка −4,93 °C неверна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,08 °C.
7. 7. Середина = (−5,19 + −5,13)/2 = −5,16 °C. Предложенная отметка −5,16 °C верна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,03 °C.
8. 8. Середина = (−5,38 + −5,3)/2 = −5,34 °C. Предложенная отметка −5,35 °C неверна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,04 °C.
9. 9. Середина = (−5,57 + −5,47)/2 = −5,52 °C. Предложенная отметка −5,51 °C неверна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,05 °C.
10. 10. Середина = (−5,76 + −5,64)/2 = −5,7 °C. Предложенная отметка −5,7 °C верна. Две половины интервала должны иметь одинаковую длину 0,06 °C.
11. 11. Минимальная длина = 0,06 °C; полоски 1, 7. Длина вычисляется как правая граница минус левая, а не по абсолютным значениям в обратном порядке.
12. 12. Наибольшая длина = 0,16 °C; полоски 6. Среднее двух отрицательных чисел строго между ними, а значит тоже отрицательно.

Как оценить разумность измерения

Ответ нельзя считать правдоподобным только потому, что он похож на исходные температуры. Нужны две проверки: 1) координата строго между границами; 2) расстояния до обеих границ одинаковые. Например, из двух соседних чисел −5,00 и −4,90 нельзя получить −4,93 как точную середину: расстояния равны 0,07 и 0,03.

Для учителя: за каждую из первых десяти строк можно дать по 2 балла — за вычисление и оценку ответа школьника. За задания 11 и 12 — ещё по 2 балла. Максимум 24 балла. Если встречается ошибка из-за знаков, попросите вслух прочитать интервал слева направо: от более отрицательного к менее отрицательному. Это помогает понять, почему прибавление положительной половины промежутка сдвигает точку вправо.