Восстановление недостающей рациональной точки при разных знаках знаменателя — задачи с решениями для 6 класса

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Два самостоятельных варианта: рациональные точки и знаки знаменателей

Два варианта: одинаковый ответ может иметь разные записи

На прямой точка всегда определяется значением рационального числа, а не тем, как расположены знаки в числителе и знаменателе. Например, (5)/(−8) и (−5)/(8) обозначают одну координату −5/8. А (−5)/(−8) обозначает уже положительную координату 5/8. Во всех карточках знаменатели ненулевые. Перед восстановлением пропуска приведите данные дроби к знаменателю с положительным знаком.

Если отрезок разделён на две равные части, неизвестная точка — среднее арифметическое координат концов. Если разделён на три равные части, сначала найдите один шаг и только потом нужную внутреннюю точку. Нельзя автоматически искать среднее арифметическое A и D, если между ними расположены две неизвестные точки.

Вариант А. Восстановите середину

В первых восьми карточках записаны крайние точки A и C; найдите B так, чтобы AB и BC совпали по длине. Подчеркните преобразование дроби с отрицательным знаменателем и проверьте положительность расстояния между соседними отметками.

1. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (10)/(−12), C = (−1)/(2). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
2. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (21)/(−18), C = (8)/(−12). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
3. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (−3)/(2), C = (5)/(−6). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
4. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (44)/(−24), C = (−6)/(4). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
5. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (13)/(−6), C = (15)/(−9). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
6. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (−10)/(4), C = (11)/(−6). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
7. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (51)/(−18), C = (−20)/(8). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.
8. На прямой A–B–C соседние промежутки равны. A = (19)/(−6), C = (8)/(−3). Восстановите B; запишите ответ дробью с положительным знаменателем.

Вариант Б. Восстановите один из двух внутренних узлов

Здесь четыре точки A–B–C–D и уже три равных промежутка. В зависимости от условия находите B или C, но не перепутайте количество шагов от A. Если дано C, оно на два шага правее A. После вычисления запишите короткую проверку равенства разностей соседних координат.

9. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (40)/(−36) и D = (−14)/(18). Найдите координату B; учтите оба знака дробей.
10. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (4)/(−3) и D = (15)/(−18). Найдите координату C; учтите оба знака дробей.
11. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (−28)/(18) и D = (8)/(−9). Найдите координату B; учтите оба знака дробей.
12. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (48)/(−27) и D = (−68)/(72). Найдите координату C; учтите оба знака дробей.
13. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (2)/(−1) и D = (1)/(−1). Найдите координату B; учтите оба знака дробей.
14. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (−80)/(36) и D = (34)/(−18). Найдите координату C; учтите оба знака дробей.
15. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (22)/(−9) и D = (−105)/(54). Найдите координату B; учтите оба знака дробей.
16. Четыре равноотстоящие точки A–B–C–D. Известны A = (16)/(−6) и D = (2)/(−1). Найдите координату C; учтите оба знака дробей.

Ответы с проверкой равных расстояний

1. 1. После приведения знаков A = −5/6, C = −1/2. B = (A+C)/2 = −2/3. Проверка: B − A = C − B = 1/6.
2. 2. После приведения знаков A = −7/6, C = −2/3. B = (A+C)/2 = −11/12. Проверка: B − A = C − B = 1/4.
3. 3. После приведения знаков A = −3/2, C = −5/6. B = (A+C)/2 = −7/6. Проверка: B − A = C − B = 1/3.
4. 4. После приведения знаков A = −11/6, C = −3/2. B = (A+C)/2 = −5/3. Проверка: B − A = C − B = 1/6.
5. 5. После приведения знаков A = −13/6, C = −5/3. B = (A+C)/2 = −23/12. Проверка: B − A = C − B = 1/4.
6. 6. После приведения знаков A = −5/2, C = −11/6. B = (A+C)/2 = −13/6. Проверка: B − A = C − B = 1/3.
7. 7. После приведения знаков A = −17/6, C = −5/2. B = (A+C)/2 = −8/3. Проверка: B − A = C − B = 1/6.
8. 8. После приведения знаков A = −19/6, C = −8/3. B = (A+C)/2 = −35/12. Проверка: B − A = C − B = 1/4.
9. 9. A = −10/9, D = −7/9. Шаг = (D−A)/3 = 1/9, значит B = A + 1·шаг = −1. Контроль: три шага дают 1/3.
10. 10. A = −4/3, D = −5/6. Шаг = (D−A)/3 = 1/6, значит C = A + 2·шаг = −1. Контроль: три шага дают 1/2.
11. 11. A = −14/9, D = −8/9. Шаг = (D−A)/3 = 2/9, значит B = A + 1·шаг = −4/3. Контроль: три шага дают 2/3.
12. 12. A = −16/9, D = −17/18. Шаг = (D−A)/3 = 5/18, значит C = A + 2·шаг = −11/9. Контроль: три шага дают 5/6.
13. 13. A = −2, D = −1. Шаг = (D−A)/3 = 1/3, значит B = A + 1·шаг = −5/3. Контроль: три шага дают 1.
14. 14. A = −20/9, D = −17/9. Шаг = (D−A)/3 = 1/9, значит C = A + 2·шаг = −2. Контроль: три шага дают 1/3.
15. 15. A = −22/9, D = −35/18. Шаг = (D−A)/3 = 1/6, значит B = A + 1·шаг = −41/18. Контроль: три шага дают 1/2.
16. 16. A = −8/3, D = −2. Шаг = (D−A)/3 = 2/9, значит C = A + 2·шаг = −20/9. Контроль: три шага дают 2/3.

Взаимная проверка и разбор необычных ответов

Обменяйтесь листами. Проверяющий сначала переносит знаки из знаменателей, затем убеждается, что найденная точка принадлежит нужному промежутку. После этого вычисляет общий шаг. У отрицательных координат допустимо, что правая точка также отрицательна: например, −1/2 находится правее −3/4. Положительный знаменатель не делает саму дробь положительной, если её числитель отрицателен.

Критерий: за каждый из 16 номеров можно получить по 2 балла — за правильно восстановленное значение и за проверку расстояний. Максимум 32 балла. Распространённые ошибки: знак минуса оставляют и в числителе, и в знаменателе при переносе; делят расстояние на число точек, а не на число промежутков; записывают координату с неверным знаком. Исправляйте причины, а не только числовые ответы.