Восстановление неизвестного множителя дроби при наличии сокращения до вычисления — задания с разбором, 6 класс

6 класс · два контрастных варианта по 8 заданий. В этой работе неизвестный множитель восстанавливают из равенства вида a/b · x = c/d. Затем до перемножения числителей и знаменателей используют сокращение поперёк дробей. Это позволяет вычислять точный ответ с меньшими числами и одновременно повторяет деление обыкновенных дробей.

Как сократить до вычисления

Для a/b · x = c/d при ненулевых a и b получаем x = (c/d) : (a/b) = (c/d) × (b/a). Числа в числителе произведения можно сокращать с числами в знаменателе: общий делитель убирают одновременно сверху и снизу. Например, (9/14) : (6/35) = (9 × 35)/(14 × 6). Сокращаем 9 и 6 на 3, 35 и 14 на 7: получается (3 × 5)/(2 × 2) = 15/4 = 3 3/4.

Почему это верно? Сокращение числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель не меняет значение дроби. Но нельзя произвольно сокращать два числителя друг с другом: общие множители ищут между верхней и нижней частями произведения.

Вариант А — найдите x методом обратного действия

Фамилия ________________________ Дата __________. После решения запишите сокращение двумя парами, вычислите x, выделите целую часть при необходимости. Проверяйте обратной подстановкой в исходное произведение.

1. 1. Найдите неизвестный множитель x: (6/35) · x = 9/14. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
2. 2. Найдите неизвестный множитель x: (8/21) · x = 10/9. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
3. 3. Найдите неизвестный множитель x: (12/25) · x = 16/15. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
4. 4. Найдите неизвестный множитель x: (9/28) · x = 15/14. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
5. 5. Найдите неизвестный множитель x: (10/27) · x = 25/18. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
6. 6. Найдите неизвестный множитель x: (14/33) · x = 21/22. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
7. 7. Найдите неизвестный множитель x: (15/32) · x = 9/20. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
8. 8. Найдите неизвестный множитель x: (18/55) · x = 27/44. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.

Вариант Б — сначала запланируйте сокращение

Здесь сначала отметьте, какие два числа из числителя и знаменателя можно поделить на одинаковый множитель, и только затем перемножайте оставшиеся небольшие числа. Сверьте выбранные сокращения с ответами соседа, не копируя его итог.

9. 9. Найдите неизвестный множитель x: (12/35) · x = 9/14. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
10. 10. Найдите неизвестный множитель x: (16/45) · x = 20/27. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
11. 11. Найдите неизвестный множитель x: (21/40) · x = 14/25. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
12. 12. Найдите неизвестный множитель x: (18/49) · x = 27/28. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
13. 13. Найдите неизвестный множитель x: (24/65) · x = 18/39. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
14. 14. Найдите неизвестный множитель x: (25/48) · x = 15/32. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
15. 15. Найдите неизвестный множитель x: (28/75) · x = 21/50. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.
16. 16. Найдите неизвестный множитель x: (30/77) · x = 20/33. До перемножения найдите возможные сокращения в обратном произведении.

Ключ: вариант А

1. 1. x = (9/14) × (35/6). Сокращаем пары на 3 и 7: (3 × 5)/(2 × 2) = 3 3/4. Проверка: (6/35) × 3 3/4 = 9/14.
2. 2. x = (10/9) × (21/8). Сокращаем пары на 2 и 3: (5 × 7)/(4 × 3) = 2 11/12. Проверка: (8/21) × 2 11/12 = 1 1/9.
3. 3. x = (16/15) × (25/12). Сокращаем пары на 4 и 5: (4 × 5)/(3 × 3) = 2 2/9. Проверка: (12/25) × 2 2/9 = 1 1/15.
4. 4. x = (15/14) × (28/9). Сокращаем пары на 3 и 14: (5 × 2)/(3 × 1) = 3 1/3. Проверка: (9/28) × 3 1/3 = 1 1/14.
5. 5. x = (25/18) × (27/10). Сокращаем пары на 5 и 9: (5 × 3)/(2 × 2) = 3 3/4. Проверка: (10/27) × 3 3/4 = 1 7/18.
6. 6. x = (21/22) × (33/14). Сокращаем пары на 7 и 11: (3 × 3)/(2 × 2) = 2 1/4. Проверка: (14/33) × 2 1/4 = 21/22.
7. 7. x = (9/20) × (32/15). Сокращаем пары на 3 и 4: (3 × 8)/(5 × 5) = 24/25. Проверка: (15/32) × 24/25 = 9/20.
8. 8. x = (27/44) × (55/18). Сокращаем пары на 9 и 11: (3 × 5)/(2 × 4) = 1 7/8. Проверка: (18/55) × 1 7/8 = 27/44.

Ключ: вариант Б

9. 9. x = (9/14) × (35/12). Сокращаем пары на 3 и 7: (3 × 5)/(4 × 2) = 1 7/8. Проверка: (12/35) × 1 7/8 = 9/14.
10. 10. x = (20/27) × (45/16). Сокращаем пары на 4 и 9: (5 × 5)/(4 × 3) = 2 1/12. Проверка: (16/45) × 2 1/12 = 20/27.
11. 11. x = (14/25) × (40/21). Сокращаем пары на 7 и 5: (2 × 8)/(3 × 5) = 1 1/15. Проверка: (21/40) × 1 1/15 = 14/25.
12. 12. x = (27/28) × (49/18). Сокращаем пары на 9 и 7: (3 × 7)/(2 × 4) = 2 5/8. Проверка: (18/49) × 2 5/8 = 27/28.
13. 13. x = (18/39) × (65/24). Сокращаем пары на 6 и 13: (3 × 5)/(4 × 3) = 1 1/4. Проверка: (24/65) × 1 1/4 = 6/13.
14. 14. x = (15/32) × (48/25). Сокращаем пары на 5 и 16: (3 × 3)/(5 × 2) = 9/10. Проверка: (25/48) × 9/10 = 15/32.
15. 15. x = (21/50) × (75/28). Сокращаем пары на 7 и 25: (3 × 3)/(4 × 2) = 1 1/8. Проверка: (28/75) × 1 1/8 = 21/50.
16. 16. x = (20/33) × (77/30). Сокращаем пары на 10 и 11: (2 × 7)/(3 × 3) = 1 5/9. Проверка: (30/77) × 1 5/9 = 20/33.

Как проверить сокращение самостоятельно

После сокращения запишите отдельно числитель и знаменатель нового произведения. Должно получиться то же рациональное число, что и до сокращения; для уверенности можно выполнить перекрёстное умножение. Например, если сократили 9 и 6 на 3, полученные 3 и 2 должны удовлетворять равенству 9/6 = 3/2. Сокращение 35 и 14 на 7 даёт 5/2: эти две пары сокращений нельзя заменить делением лишь одного числа.

Проверка результата обязательна: умножьте найденный x на известный множитель a/b. Если произведение не равно c/d, найденная дробь не решает исходное уравнение. При этом все знаменатели в исходных данных положительны и не равны нулю, так что обратный множитель существует. Не забывайте: ноль в знаменателе недопустим.

Вариант А начинает с обратного действия, вариант Б — с планирования сокращения. Оба способа приводят к одному точному результату. Десятичное округление не требуется.