Восстановление неизвестного множителя дроби при требовании несократимого результата — самостоятельная работа, 6 класс

Самостоятельная работа, 6 класс. Здесь необходимо найти неизвестный дробный множитель и доказать, что полученный результат записан несократимой дробью. Условия рассчитаны на различение двух действий: найти число и нормально записать найденное число. Обратная проверка произведением обязательна. Отдельно учтены задачи, где неизвестная дробь должна быть правильной.

Образец с обратной проверкой

Решим (9/10) × x = 3/8. Переносить знаменатели «крест-накрест» необязательно: x = (3/8) ÷ (9/10) = (3/8) × (10/9) = 30/72 = 5/12. Числитель 5 и знаменатель 12 взаимно просты; НОД(5, 12) = 1, поэтому дробь 5/12 несократима. Проверка: (9/10) × (5/12) = 45/120 = 3/8. Если оставить ответ 30/72, равенство будет верным, но условие о несократимой записи не выполнено.

Четыре шага решения: 1) выпишите уравнение; 2) разделите правую часть на известный ненулевой множитель; 3) сократите числитель и знаменатель; 4) умножьте найденный x на исходную дробь. Несократимость определяют по НОД числителя и знаменателя. Само число от сокращения не меняется.

Часть А. Найдите x и запишите его без общего делителя

1. В равенстве 3/4 × x = 3/10 найдите x. В ответе укажите, почему дробь 2/5 несократима.
2. В равенстве 7/9 × x = 1/3 найдите x. В ответе укажите, почему дробь 3/7 несократима.
3. В равенстве 5/6 × x = 2/9 найдите x. В ответе укажите, почему дробь 4/15 несократима.
4. В равенстве 8/11 × x = 5/22 найдите x. В ответе укажите, почему дробь 5/16 несократима.
5. В равенстве 9/14 × x = 1/4 найдите x. В ответе укажите, почему дробь 7/18 несократима.
6. В равенстве 11/12 × x = 1/2 найдите x. В ответе укажите, почему дробь 6/11 несократима.

Сначала приведите дроби к обычному виду и только после этого оценивайте правильность результата. Например, 6/15 и 2/5 описывают одно и то же число, однако запись 6/15 нельзя признать несократимой. В задании 4 неудобные на вид знаменатели не являются поводом менять порядок действий.

Часть Б. Дополнительно требуется правильная дробь

В каждом пункте x должна удовлетворять 0 < x < 1. Если вычисленное число равно единице или больше единицы, такого правильного дробного множителя не существует. Другое дело — обычный дробный множитель без ограничения: его можно найти и при x > 1.

7. Вычислите x из 4/5 × x = 3/10. Допустим ли найденный x как правильная дробь? Запишите несократимую форму.
8. Вычислите x из 5/7 × x = 1. Допустим ли найденный x как правильная дробь? Запишите несократимую форму.
9. Вычислите x из 9/10 × x = 3/5. Допустим ли найденный x как правильная дробь? Запишите несократимую форму.
10. Вычислите x из 3/8 × x = 3/8. Допустим ли найденный x как правильная дробь? Запишите несократимую форму.
11. Вычислите x из 7/12 × x = 1. Допустим ли найденный x как правильная дробь? Запишите несократимую форму.

Часть В. Установите, какой ответ действительно приведён к несократимому виду

12. Для уравнения 3/5 × x = 2/15 ученик предлагает x = 4/18. Найдите правильное значение и объясните, подходит ли его запись; если число неверно, покажите это умножением.
13. Для уравнения 7/8 × x = 1/6 ученик предлагает x = 8/42. Найдите правильное значение и объясните, подходит ли его запись; если число неверно, покажите это умножением.
14. Для уравнения 5/12 × x = 1/10 ученик предлагает x = 18/70. Найдите правильное значение и объясните, подходит ли его запись; если число неверно, покажите это умножением.
15. Для уравнения 9/16 × x = 1/4 ученик предлагает x = 12/25. Найдите правильное значение и объясните, подходит ли его запись; если число неверно, покажите это умножением.
16. Для уравнения 2/7 × x = 1/5 ученик предлагает x = 14/20. Найдите правильное значение и объясните, подходит ли его запись; если число неверно, покажите это умножением.

На что обращать внимание при самостоятельной проверке

Если результат записан как 12/18, а требуется несократимая дробь, сначала выделите общий делитель 6: получится 2/3. Но сокращать можно только множители числителя и знаменателя одной дроби или дробей в произведении. Нельзя произвольно вычёркивать равные слагаемые, например в (2 + 3)/(2 + 7): здесь сложение, а не произведение. Сокращать «по похожести цифр» тоже нельзя.

Отдельный контроль — знак и область значений. Из положительных известных дробей и положительного результата получается положительное x. Если требуется правильная дробь, условие x < 1 нужно проверить уже после вычисления: нельзя просто заменить найденную неправильную дробь правильной, потому что это разрушит исходное равенство. Когда a не равно нулю, уравнение a × x = b имеет единственное рациональное решение b/a; требование правильной дроби может сделать задачу неразрешимой, но не создать второе решение.

В части В важно отличить неверное число от верной, но несократимой записи. Например, если ученик получил 4/18 вместо 2/9, он не ошибся в значении, но не выполнил требование к форме ответа. А если при обратной проверке произведение не совпало с правой частью, никакое сокращение не спасёт ошибочное число. Правильный ключ включает обе проверки.

Подробные решения и ключ

Задания 1–6

1. x = 3/10 ÷ 3/4 = 2/5. НОД(2, 5) = 1. Проверка: 3/4 × 2/5 = 3/10.
2. x = 1/3 ÷ 7/9 = 3/7. НОД(3, 7) = 1. Проверка: 7/9 × 3/7 = 1/3.
3. x = 2/9 ÷ 5/6 = 4/15. НОД(4, 15) = 1. Проверка: 5/6 × 4/15 = 2/9.
4. x = 5/22 ÷ 8/11 = 5/16. НОД(5, 16) = 1. Проверка: 8/11 × 5/16 = 5/22.
5. x = 1/4 ÷ 9/14 = 7/18. НОД(7, 18) = 1. Проверка: 9/14 × 7/18 = 1/4.
6. x = 1/2 ÷ 11/12 = 6/11. НОД(6, 11) = 1. Проверка: 11/12 × 6/11 = 1/2.

Задания 7–11

7. x = 3/10 ÷ 4/5 = 3/8; подходит, потому что 0 < x < 1. НОД(3, 8) = 1, а 4/5 × 3/8 = 3/10.
8. x = 1 ÷ 5/7 = 7/5; не подходит, потому что x не меньше 1. В классе правильных дробей решений нет. НОД(7, 5) = 1, а 5/7 × 7/5 = 1.
9. x = 3/5 ÷ 9/10 = 2/3; подходит, потому что 0 < x < 1. НОД(2, 3) = 1, а 9/10 × 2/3 = 3/5.
10. x = 3/8 ÷ 3/8 = 1; не подходит, потому что x не меньше 1. В классе правильных дробей решений нет. НОД(1, 1) = 1, а 3/8 × 1 = 3/8.
11. x = 1 ÷ 7/12 = 12/7; не подходит, потому что x не меньше 1. В классе правильных дробей решений нет. НОД(12, 7) = 1, а 7/12 × 12/7 = 1.

Задания 12–16

12. Число 4/18 равно 2/9, но запись сократима; окончательный ответ 2/9. НОД(2, 9) = 1, проверка: 3/5 × 2/9 = 2/15.
13. Число 8/42 равно 4/21, но запись сократима; окончательный ответ 4/21. НОД(4, 21) = 1, проверка: 7/8 × 4/21 = 1/6.
14. Предложение неверно: 5/12 × 18/70 = 3/28 ≠ 1/10. Верное x = 1/10 ÷ 5/12 = 6/25, НОД(6, 25) = 1.
15. Предложение неверно: 9/16 × 12/25 = 27/100 ≠ 1/4. Верное x = 1/4 ÷ 9/16 = 4/9, НОД(4, 9) = 1.
16. Число 14/20 равно 7/10, но запись сократима; окончательный ответ 7/10. НОД(7, 10) = 1, проверка: 2/7 × 7/10 = 1/5.

Самооценка: каждый пункт засчитывается полностью, только если найдено x, выполнено сокращение и проверено обратное умножение. Для задач 7–11 добавляется оценка допустимости. Если забыли условие «правильная дробь», ответ может быть арифметически верным, но не соответствовать задаче. Если написали несократимую форму без проверки произведением, вы не убедились, что восстановили именно тот множитель, который дан в уравнении.