Восстановление неизвестного параметра для площади прямоугольного участка — мини-практикум с ответами, 8 класс

Сначала разберите неправильное решение

Прямоугольный земельный участок имеет стороны (10+t) и (6+t) метров. После одинакового увеличения его площадь стала 176 м². Ученик записал 60+t²=176, откуда t≈10,77. Ошибка в пропущенных смешанных произведениях: (10+t)(6+t)=60+16t+t². Поэтому t²+16t−116=0; точный положительный корень −8+6√5≈5,42 м. Проверка исходной формулой даёт 176 м². Здесь важно не подбирать целый параметр насильно: длины земельных участков могут быть дробными.

Далее все задания с целочисленными исходными данными подобраны так, что реальное значение параметра является целым. t обозначает прибавку к обеим сторонам или коэффициент в одной стороне, а не площадь; единицы измерения t — метры. При построении модели указывайте, как параметр меняет каждую сторону, и сохраняйте ограничения положительности.

Пять ошибок в записях — проверьте и исправьте

1. Участок (9+t)×(3+t) м имеет площадь 112 м². Ученик написал 27+t²=112, t=√85.
2. Участок 12×8 м увеличили по обоим измерениям на t. Площадь стала 180 м². Ученик посчитал t=5 м.
3. Площадь участка со сторонами (14−t) и (10−t) м равна 60 м². Ученик выбрал t=18 м.
4. Участок со сторонами (9+2t) и 7 м имеет площадь 119 м². Ученик записал 9+2t+7=119.
5. У участка стороны (11+t) и (4+t) м, площадь 120 м². Ученик нашёл t=4, но ответил «площадь 4 м²».

Самостоятельная серия: восстановите параметр t

1. 6. Площадь участка со сторонами (7+t) м и (5+t) м составляет 143 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
2. 7. Площадь участка со сторонами (15+t) м и (8+t) м составляет 198 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
3. 8. Площадь участка со сторонами (9+t) м и (6+t) м составляет 208 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
4. 9. Площадь участка со сторонами (12+t) м и (10+t) м составляет 255 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
5. 10. Площадь участка со сторонами (18+t) м и (11+t) м составляет 260 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
6. 11. Площадь участка со сторонами (6+t) м и (4+t) м составляет 168 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
7. 12. Площадь участка со сторонами (13+t) м и (7+t) м составляет 187 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
8. 13. Площадь участка со сторонами (10+t) м и (8+t) м составляет 323 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.
9. 14. Площадь участка со сторонами (16+t) м и (9+t) м составляет 330 м². Восстановите t, затем обе стороны; перечислите алгебраические корни и выберите физически допустимый при увеличении.

Ключ: пять исправлений

1. Верно (9+t)(3+t)=112 ⇒ t²+12t−85=0 ⇒ t=5 или −17. При увеличении подходит t=5 м, стороны 14 и 8 м; проверка: 14·8=112 м².
2. Уравнение (12+t)(8+t)=180 ⇒ t²+20t−84=0 ⇒ t=−10+2√46≈3,56 м (другой корень отрицателен). При t=5 площадь 17·13=221 м², а не 180.
3. Уравнение (14−t)(10−t)=60 ⇒ t²−24t+80=(t−4)(t−20)=0. Получаем t=4 или 20; ни 18, ни увеличение не подходят. При уменьшении нужно t=4 м, стороны 10×6 м.
4. Для площади нужно умножать: 7(9+2t)=119, или 63+14t=119 ⇒ t=4 м; новая длина 17 м.
5. (11+t)(4+t)=120 ⇒ t²+15t−76=0 ⇒ t=4 или −19. Допустим t=4 м — это увеличение сторон. Новые стороны 15 и 8 м, их площадь 120 м².

Ключ: самостоятельная серия

1. (t+7)(t+5)=143 ⇒ t²+12t-108=0, корни 6 и -18. При t=6 м размеры 13×11 м; проверка площади: 13·11=143 м². Второй корень не означает увеличение.
2. (t+15)(t+8)=198 ⇒ t²+23t-78=0, корни 3 и -26. При t=3 м размеры 18×11 м; проверка площади: 18·11=198 м². Второй корень не означает увеличение.
3. (t+9)(t+6)=208 ⇒ t²+15t-154=0, корни 7 и -22. При t=7 м размеры 16×13 м; проверка площади: 16·13=208 м². Второй корень не означает увеличение.
4. (t+12)(t+10)=255 ⇒ t²+22t-135=0, корни 5 и -27. При t=5 м размеры 17×15 м; проверка площади: 17·15=255 м². Второй корень не означает увеличение.
5. (t+18)(t+11)=260 ⇒ t²+29t-62=0, корни 2 и -31. При t=2 м размеры 20×13 м; проверка площади: 20·13=260 м². Второй корень не означает увеличение.
6. (t+6)(t+4)=168 ⇒ t²+10t-144=0, корни 8 и -18. При t=8 м размеры 14×12 м; проверка площади: 14·12=168 м². Второй корень не означает увеличение.
7. (t+13)(t+7)=187 ⇒ t²+20t-96=0, корни 4 и -24. При t=4 м размеры 17×11 м; проверка площади: 17·11=187 м². Второй корень не означает увеличение.
8. (t+10)(t+8)=323 ⇒ t²+18t-243=0, корни 9 и -27. При t=9 м размеры 19×17 м; проверка площади: 19·17=323 м². Второй корень не означает увеличение.
9. (t+16)(t+9)=330 ⇒ t²+25t-186=0, корни 6 и -31. При t=6 м размеры 22×15 м; проверка площади: 22·15=330 м². Второй корень не означает увеличение.

Проверка параметра с точки зрения геометрии

Если модель показывает увеличение обеих сторон, t≥0 и каждое выражение a+t, b+t должно быть положительным. При уменьшении t≥0, но дополнительно t<min(a,b); при разных коэффициентах параметра ограничения могут быть иными. Область допустимых значений выписывают до поиска корней. Число, полученное алгебраически, должно давать заданную площадь при подстановке в исходное произведение, а не только в раскрытый многочлен.

Обратите внимание на второй пример с дробным ответом: физический параметр длины не обязан быть целым. Его нельзя округлить в середине расчётов и считать модель точной. Если условие не требует заданной точности, допускается точное выражение через квадратный корень. Для практического измерения можно привести приближённое значение, отдельно указав округление.