Восстановление неизвестного угла для квадрата с дополнительным условием: математический практикум для 8 класса

Проверьте подозрительный тезис: «У квадрата любая проведённая из вершины линия делит прямой угол пополам». Он неверен. Пополам прямые углы квадрата делят именно его диагонали; произвольный отрезок к точке стороны может составлять с боковой стороной любой допустимый острый угол.

Зафиксируем квадрат ABCD со сторонами AB, BC, CD, DA и диагональю AC; все его внутренние углы равны 90°, а диагональ AC образует с AB и AD по 45°. Если E лежит на стороне BC (включая концы, когда это оговорено), луч AE находится между AB и AC. Если E на CD, луч AE проходит между AC и AD. Этого достаточно для проверки каждой задачи без измерений по рисунку.

Почему метод верен

Доказательство: в треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол B прямой. Следовательно, два остальных угла равны и составляют (180 − 90)/2 = 45°. Значит, ∠BAC = ∠ACB = 45°. При E на BC угол ∠BAE заключён между 0° и 45°, поэтому ∠EAC = 45° − ∠BAE. При E на CD угол ∠DAE заключён между 0° и 45°, поэтому ∠EAC = 45° − ∠DAE.

Серия I — дополнительный луч из A к стороне BC

В каждом задании E расположена строго внутри BC, а указанная величина дана точно. Найдите остальные углы, затем аргументируйте, почему E не может лежать на CD.

1. Точка E лежит внутри BC; ∠BAE = 13°. Найдите ∠EAC, ∠DAE и ∠AEB. Обоснуйте каждое равенство.

2. Точка E лежит внутри BC; ∠BAE = 18°. Найдите ∠EAC, ∠DAE и ∠AEB. Обоснуйте каждое равенство.

3. Точка E лежит внутри BC; ∠BAE = 27°. Найдите ∠EAC, ∠DAE и ∠AEB. Обоснуйте каждое равенство.

4. Точка E лежит внутри BC; ∠BAE = 36°. Найдите ∠EAC, ∠DAE и ∠AEB. Обоснуйте каждое равенство.

5. Точка E лежит внутри CD; ∠DAE = 7°. Найдите ∠EAC, ∠BAE и ∠AED. В ответе обоснуйте, почему треугольник ADE прямоугольный.

6. Точка E лежит внутри CD; ∠DAE = 16°. Найдите ∠EAC, ∠BAE и ∠AED. В ответе обоснуйте, почему треугольник ADE прямоугольный.

7. Точка E лежит внутри CD; ∠DAE = 24°. Найдите ∠EAC, ∠BAE и ∠AED. В ответе обоснуйте, почему треугольник ADE прямоугольный.

8. Точка E лежит внутри CD; ∠DAE = 39°. Найдите ∠EAC, ∠BAE и ∠AED. В ответе обоснуйте, почему треугольник ADE прямоугольный.

Серия II — особые положения и проверка доказательства

Теперь недостаточно простого вычитания: нужно рассмотреть граничный случай или опровергнуть утверждение. Указание «E на стороне» включает её концы только в заданиях 9 и 10.

9. Точка E перемещается по отрезку BC. Какие значения может принимать ∠BAE? При каком положении E он равен 45°, а при каком — 0°? Почему этот диапазон не больше?

10. Точка E перемещается по отрезку CD. Каков диапазон ∠DAE? Когда луч AE совпадает с диагональю AC? Когда он совпадает со стороной AD?

11. Ученик утверждает: «Если E лежит внутри BC, то ∠BAE всегда равен ∠EAC». Найдите единственное возможное числовое значение этих углов и объясните, существует ли такая внутренняя точка E.

12. Докажите, что если E лежит внутри CD и ∠BAE = 67°, то ∠DAE = 23° и ∠EAC = 22°. Объясните, почему нельзя просто принять ∠EAC = 67°.

Решения и обоснования

1. ∠EAC = 45 − 13 = 32°, ∠DAE = 90 − 13 = 77°. В треугольнике ABE ∠ABE = 90° (AB ⟂ BC), поэтому ∠AEB = 90 − 13 = 77°. Поскольку 0 < 13 < 45, луч AE лежит между AB и AC, то есть E расположена на BC, а не на CD.

2. ∠EAC = 45 − 18 = 27°, ∠DAE = 90 − 18 = 72°. В треугольнике ABE ∠ABE = 90° (AB ⟂ BC), поэтому ∠AEB = 90 − 18 = 72°. Поскольку 0 < 18 < 45, луч AE лежит между AB и AC, то есть E расположена на BC, а не на CD.

3. ∠EAC = 45 − 27 = 18°, ∠DAE = 90 − 27 = 63°. В треугольнике ABE ∠ABE = 90° (AB ⟂ BC), поэтому ∠AEB = 90 − 27 = 63°. Поскольку 0 < 27 < 45, луч AE лежит между AB и AC, то есть E расположена на BC, а не на CD.

4. ∠EAC = 45 − 36 = 9°, ∠DAE = 90 − 36 = 54°. В треугольнике ABE ∠ABE = 90° (AB ⟂ BC), поэтому ∠AEB = 90 − 36 = 54°. Поскольку 0 < 36 < 45, луч AE лежит между AB и AC, то есть E расположена на BC, а не на CD.

5. ∠EAC = 45 − 7 = 38°, ∠BAE = 90 − 7 = 83°. В треугольнике ADE ∠ADE = 90° (AD ⟂ CD), потому ∠AED = 90 − 7 = 83°. Угол ∠DAE меньше 45°, значит, луч AE находится между AD и AC.

6. ∠EAC = 45 − 16 = 29°, ∠BAE = 90 − 16 = 74°. В треугольнике ADE ∠ADE = 90° (AD ⟂ CD), потому ∠AED = 90 − 16 = 74°. Угол ∠DAE меньше 45°, значит, луч AE находится между AD и AC.

7. ∠EAC = 45 − 24 = 21°, ∠BAE = 90 − 24 = 66°. В треугольнике ADE ∠ADE = 90° (AD ⟂ CD), потому ∠AED = 90 − 24 = 66°. Угол ∠DAE меньше 45°, значит, луч AE находится между AD и AC.

8. ∠EAC = 45 − 39 = 6°, ∠BAE = 90 − 39 = 51°. В треугольнике ADE ∠ADE = 90° (AD ⟂ CD), потому ∠AED = 90 − 39 = 51°. Угол ∠DAE меньше 45°, значит, луч AE находится между AD и AC.

9. Если E = B, луч AE совпадает с AB и ∠BAE = 0°. Если E = C, луч AE совпадает с AC и ∠BAE = 45°. Для внутренних точек выполняется 0° < ∠BAE < 45°. Луч остаётся внутри сектора BAC.

10. Если E = D, луч AE совпадает с AD и ∠DAE = 0°. Если E = C, луч AE совпадает с AC и ∠DAE = 45°. Для внутренней точки стороны CD значение строго между 0° и 45°.

11. Равенство требовало бы ∠BAE = ∠EAC = 22,5°, поскольку их сумма 45°. Да, такая внутренняя точка E существует: луч под углом 22,5° от AB пересечёт BC. Но утверждение «для всякого E» неверно: равенство имеет место лишь для одной специальной точки.

12. При E внутри CD получаем ∠DAE = 90 − ∠BAE = 90 − 67 = 23°. Между AC и AD ровно 45°, поэтому ∠EAC = 45 − 23 = 22°. Значение 67° относится к другой паре лучей, BA и AE, и не может автоматически переноситься на EA и AC.

Итоговое доказательство и самопроверка

Проверка особых случаев полезна именно потому, что чертёж не всегда отражает точные величины. Когда E стремится к концу стороны, один из двух рассматриваемых углов стремится к 0° или 45°. Если ваша формула выдаёт отрицательное значение, лучи перепутаны или E находится не на той стороне.

Помните порядок лучей вокруг вершины A. При E на BC: AB, AE, AC, AD. При E на CD: AB, AC, AE, AD. Сначала запишите порядок, затем решайте вычитанием; такое обоснование надёжнее, чем «видно на рисунке». Правильность вычитаний основана на сумме частей развернутого или прямого угла, а не на предположении о масштабе чертежа.

Оцените каждое задание в два балла: один за верный числовой ответ или диапазон, второй за доказательство. Всего 24 балла. Особое внимание уделите задачам 9–11: крайняя точка отрезка допустима только когда это прямо указано.