Восстановление неизвестного угла для ромба с заданным острым углом: рабочий лист для 8 класса

Практическая цель. Восстановить неизвестные углы ромба по данному острому углу, грамотно различать угол четырёхугольника и угол между стороной и диагональю. Везде рассматривается выпуклый ромб ABCD, вершины идут по порядку, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Правило: у ромба противоположные углы равны, смежные в смысле соседних вершин составляют 180°. Если ∠A = α (0° < α < 90°), то ∠C = α, а ∠B = ∠D = 180° − α. Каждая диагональ делит пополам углы при своих концах. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому ∠AOB = 90°.

Не переносите значение половины острого угла на тупую вершину. При ∠A = α получаем ∠BAC = α/2 и ∠ABD = (180° − α)/2 = 90° − α/2. Именно эти два угла в прямоугольном треугольнике AOB дополняют друг друга до 90°. Во всех задачах указывайте градусы и основание вычислений.

Уровень I — прямое восстановление

Нарисуйте схему ромба: острые вершины A и C, тупые B и D. Выполните задания 1–8 по одному действию, но объясните, почему угол именно такой.

1. Острый угол ∠A равен 24°. Найдите ∠C. Укажите применённое свойство ромба.

2. Острый угол ∠A равен 36°. Найдите ∠B. Укажите применённое свойство ромба.

3. Острый угол ∠A равен 42°. Найдите ∠D. Укажите применённое свойство ромба.

4. Острый угол ∠A равен 48°. Найдите ∠BAC. Укажите применённое свойство ромба.

5. Острый угол ∠A равен 56°. Найдите ∠CAD. Укажите применённое свойство ромба.

6. Острый угол ∠A равен 62°. Найдите ∠ABD. Укажите применённое свойство ромба.

7. Острый угол ∠A равен 74°. Найдите ∠CBD. Укажите применённое свойство ромба.

8. Острый угол ∠A равен 82°. Найдите ∠AOB. Укажите применённое свойство ромба.

Уровень II — угол при диагонали и обратный ход

В задачах 9–16 придётся либо вернуться от половины угла к целому, либо пользоваться одновременно двумя свойствами ромба. Для каждого результата выполните короткую проверку: сумма соседних углов 180°, а сумма углов прямоугольного треугольника AOB равна 180°.

9. Измерен угол ∠BAC = 19°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

10. Измерен угол ∠ABD = 66°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

11. Измерен угол ∠CAD = 29°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

12. Измерен угол ∠CBD = 58°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

13. Измерен угол ∠OAB = 34°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

14. Измерен угол ∠ABO = 53°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

15. Измерен угол ∠ACD = 41°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

16. Измерен угол ∠ADB = 72°. Восстановите острый угол ∠A, тупой угол ∠B и угол ∠AOB. Объясните, почему диагональ действительно делит указанный угол пополам.

Уровень III — составные задачи

Здесь угол вычисляется несколькими шагами. Если дан угол при вершине B или D, сначала установите, полный он или половинный. В каждом ответе приведите цепочку формул и числовую проверку.

17. В ромбе ∠A = 26°. Найдите сумму ∠BAC + ∠ABC и отдельно ∠BAD + ∠ADC. Почему суммы различаются?

18. В ромбе ∠A = 32°. В треугольнике ABD найдите ∠ABD и ∠ADB, затем проверьте сумму трёх углов.

19. В ромбе ∠A = 44°. Найдите ∠AOC, ∠BOC и ∠COD, а также два угла треугольника BOC при вершинах B и C.

20. В ромбе ∠A = 52°. Сравните ∠BAC и ∠ABD; вычислите их разность и сумму.

21. В ромбе ∠A = 64°. Найдите разность между половиной тупого угла B и половиной острого угла A, затем восстановите полные углы.

22. В ромбе ∠A = 68°. Вычислите ∠OAB + ∠ABO + ∠AOB и поясните, где используются два разных свойства диагоналей.

23. В ромбе ∠A = 76°. Найдите все три угла треугольника AOD и сравните угол ADO с углом ABO.

24. В ромбе ∠A = 86°. Вычислите половину угла D; проверьте, что вместе с половиной угла A она даёт 90°, и объясните, можно ли сделать такой вывод для произвольного параллелограмма.

Ключ уровня I

1. ∠C = 24°: противоположные углы равны.

2. ∠B = 144°: соседний угол дополняет 36° до 180°.

3. ∠D = 138°: соседний угол дополняет 42° до 180°.

4. ∠BAC = 24°: диагональ AC делит угол A = 48° пополам.

5. ∠CAD = 28°: диагональ AC делит угол A = 56° пополам.

6. ∠ABD = 59°: угол B равен 118°, диагональ BD делит его пополам.

7. ∠CBD = 53°: угол B равен 106°, диагональ BD делит его пополам.

8. ∠AOB = 90°: диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Решения уровня II

9. Если ∠BAC = 19° — половина острого угла, то ∠A = 2·19 = 38°. Значит, ∠B = 142°, ∠AOB = 90°. Проверка: 19° + 71° = 90°.

10. Угол ∠ABD = 66° составляет половину тупого угла; ∠B = 2·66 = 132°, поэтому ∠A = 180 − 132 = 48°. Значит, ∠B = 132°, ∠AOB = 90°. Проверка: 24° + 66° = 90°.

11. Если ∠CAD = 29° — половина острого угла, то ∠A = 2·29 = 58°. Значит, ∠B = 122°, ∠AOB = 90°. Проверка: 29° + 61° = 90°.

12. Угол ∠CBD = 58° составляет половину тупого угла; ∠B = 2·58 = 116°, поэтому ∠A = 180 − 116 = 64°. Значит, ∠B = 116°, ∠AOB = 90°. Проверка: 32° + 58° = 90°.

13. Если ∠OAB = 34° — половина острого угла, то ∠A = 2·34 = 68°. Значит, ∠B = 112°, ∠AOB = 90°. Проверка: 34° + 56° = 90°.

14. Угол ∠ABO = 53° составляет половину тупого угла; ∠B = 2·53 = 106°, поэтому ∠A = 180 − 106 = 74°. Значит, ∠B = 106°, ∠AOB = 90°. Проверка: 37° + 53° = 90°.

15. Если ∠ACD = 41° — половина острого угла, то ∠A = 2·41 = 82°. Значит, ∠B = 98°, ∠AOB = 90°. Проверка: 41° + 49° = 90°.

16. Угол ∠ADB = 72° составляет половину тупого угла; ∠B = 2·72 = 144°, поэтому ∠A = 180 − 144 = 36°. Значит, ∠B = 144°, ∠AOB = 90°. Проверка: 18° + 72° = 90°.

Полные решения уровня III

17. ∠BAC = 13°, ∠ABC = 154°; их сумма 167°. ∠BAD = 26°, ∠ADC = 154°, сумма 180°. В первом выражении берём половину A, во втором — два соседних полных угла.

18. В треугольнике ABD ∠BAD = 32°. Так как AB = AD, углы при основании BD равны: ∠ABD = ∠ADB = (180 − 32)/2 = 74°. Проверка: 32 + 74 + 74 = 180°.

19. Точки A,O,C лежат на одной прямой, значит ∠AOC = 180°. Пересекающиеся диагонали дают ∠BOC = ∠COD = 90°. В треугольнике BOC ∠OBC = 68°, ∠BCO = 22°; сумма 68 + 22 + 90 = 180°.

20. ∠BAC = 52/2 = 26°; ∠ABD = (180 − 52)/2 = 64°. Разность 38°, сумма 90° = 90° — углы при катетах прямоугольного треугольника AOB.

21. ∠B = 180 − 64 = 116°. Половины: ∠ABD = 58°, ∠BAC = 32°. Их разность 26°. Обратная проверка: 2·58 = 116°, 2·32 = 64°.

22. ∠OAB = 34° (биссектриса AC), ∠ABO = 56° (биссектриса BD), ∠AOB = 90° (перпендикулярные диагонали). Сумма 34 + 56 + 90 = 180°.

23. В треугольнике AOD: ∠OAD = 38°, ∠ADO = 52°, ∠AOD = 90°. ∠ABO тоже равен 52°, ведь диагональ BD делит углы B и D пополам, а ∠B = ∠D = 104°.

24. Половина угла D = (180 − 86)/2 = 47°; половина A = 43°. Сумма 90° = 90°, поскольку диагонали ромба перпендикулярны. У произвольного параллелограмма диагонали обычно не делят углы пополам, поэтому переносить вывод нельзя.

Проверка и частые ошибки

Если задан острый ∠A, углы при соседних вершинах B и D тупые. Нельзя отвечать 180° − α/2 вместо (180° − α)/2: в первом выражении пополам делится только α, а не весь соседний угол.

Диагональ ромба — биссектриса угла, но не любой произвольно проведённый отрезок внутри ромба обладает этим свойством. Диагонали взаимно перпендикулярны, однако стороны ромба при α, отличном от 90°, не перпендикулярны.

Для самостоятельной оценки: 1 балл за верное значение угла, ещё 1 за обоснование в заданиях 17–24. Максимум 32 балла. Для повторения сначала исправьте именно ошибочную формулу, затем пересчитайте числовой ответ.

Как работать с разными видами углов ромба

При решении полезно вначале определить, где расположен искомый угол. Если вершина совпадает с вершиной ромба, речь идёт о полном внутреннем угле, например ∠ABC или ∠CDA. Если одна из сторон угла — диагональ, нужно использовать биссектрису: например, угол ∠ABO составляет только половину ∠ABC. Если вершина лежит в точке O, где пересекаются диагонали, используются прямые углы. Наконец, ∠AOC — развёрнутый угол между двумя противоположными лучами одной диагонали. Подставлять в эти четыре ситуации одну и ту же формулу нельзя.

В заданиях обратного типа сначала найдите угол, который биссектриса разделила пополам. Если при вершине B дано 66°, то полный ∠ABC равен 132°, соседний острый ∠BAD равен 48°. Проверка двумя способами: 48° + 132° = 180°, а 24° + 66° = 90°. Первый способ проверяет соседние углы четырёхугольника, второй — углы треугольника, образованного половинами диагоналей. Совпадение двух независимых проверок помогает заметить ошибку со скобками.

На чертеже ромба удобно выделить одну диагональ штрихом, другую — сплошной линией и подписать четыре угла около точки O значением 90°. После этого впишите половину острого угла рядом с A и C, половину тупого — рядом с B и D. Не измеряйте угол на картинке линейкой или транспортиром, если дано точное числовое значение: рисунок может быть условным. Такая схема особенно важна в заданиях 19–24, где легко перепутать углы одного и того же треугольника.