Восстановление неизвестного угла для трапеции с боковыми углами — задачи с решениями для 8 класса

В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны, а боковые стороны AD и BC не параллельны. Поэтому углы при одной боковой стороне являются внутренними односторонними: ∠A + ∠D = 180°, ∠B + ∠C = 180°. Это два самостоятельных равенства; из них не следует, что ∠A = ∠B.

Форматы вариантов различаются. В варианте I даны углы при нижнем основании, требуется найти верхние. Во варианте II решение идёт в обратном порядке, а некоторые задания дополнительно используют равнобедренность. Всегда поясняйте, по какой боковой стороне складываете углы. Углы измеряются в градусах.

Вариант I — два угла у основания

Для каждой трапеции найдите ∠C и ∠D, объяснив, почему нельзя вычитать оба искомых угла из одного и того же заданного. В заданиях 5–8 добавьте проверку суммы четырёх внутренних углов.

1. В трапеции ABCD ∠A = 52°, ∠B = 77°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D.

2. В трапеции ABCD ∠A = 67°, ∠B = 95°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D.

3. В трапеции ABCD ∠A = 81°, ∠B = 113°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D.

4. В трапеции ABCD ∠A = 94°, ∠B = 62°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D.

5. В трапеции ABCD ∠A = 108°, ∠B = 84°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D. Проверьте сумму всех четырёх углов.

6. В трапеции ABCD ∠A = 119°, ∠B = 128°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D. Проверьте сумму всех четырёх углов.

7. В трапеции ABCD ∠A = 73°, ∠B = 101°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D. Проверьте сумму всех четырёх углов.

8. В трапеции ABCD ∠A = 87°, ∠B = 106°. Восстановите боковые углы при верхнем основании: ∠C и ∠D. Проверьте сумму всех четырёх углов.

Вариант II — восстановите условие назад

В равнобедренной трапеции дополнительно равны углы при каждом основании: ∠A = ∠B и ∠C = ∠D. Если трапеция не названа равнобедренной, такое равенство применять нельзя.

9. В обычная трапеции ABCD известно ∠C = 119°, ∠D = 104°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

10. В обычная трапеции ABCD известно ∠C = 73°, ∠D = 116°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

11. В равнобедренная трапеции ABCD известно ∠C = 128°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

12. В равнобедренная трапеции ABCD известно ∠A = 58°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

13. В обычная трапеции ABCD известно ∠C = 96°, ∠A = 109°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

14. В обычная трапеции ABCD известно ∠B = 118°, ∠D = 79°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

15. В равнобедренная трапеции ABCD известно ∠D = 132°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

16. В равнобедренная трапеции ABCD известно ∠B = 71°. Найдите все остальные углы, объясняя использованный признак.

Проверенные ответы — вариант I

1. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 77 = 103°; по боковой AD ∠D = 180 − 52 = 128°. Проверка: 52 + 77 + 103 + 128 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

2. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 95 = 85°; по боковой AD ∠D = 180 − 67 = 113°. Проверка: 67 + 95 + 85 + 113 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

3. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 113 = 67°; по боковой AD ∠D = 180 − 81 = 99°. Проверка: 81 + 113 + 67 + 99 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

4. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 62 = 118°; по боковой AD ∠D = 180 − 94 = 86°. Проверка: 94 + 62 + 118 + 86 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

5. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 84 = 96°; по боковой AD ∠D = 180 − 108 = 72°. Проверка: 108 + 84 + 96 + 72 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

6. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 128 = 52°; по боковой AD ∠D = 180 − 119 = 61°. Проверка: 119 + 128 + 52 + 61 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

7. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 101 = 79°; по боковой AD ∠D = 180 − 73 = 107°. Проверка: 73 + 101 + 79 + 107 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

8. По боковой стороне BC ∠C = 180 − 106 = 74°; по боковой AD ∠D = 180 − 87 = 93°. Проверка: 87 + 106 + 74 + 93 = 360°. Противоположные углы здесь не обязаны быть равными.

Решения — вариант II

9. ∠A = 76°, ∠B = 61°, ∠C = 119°, ∠D = 104°. Использованы независимые равенства A + D = 180° и B + C = 180°. Проверка: 76+61+119+104=360°.

10. ∠A = 64°, ∠B = 107°, ∠C = 73°, ∠D = 116°. Использованы независимые равенства A + D = 180° и B + C = 180°. Проверка: 64+107+73+116=360°.

11. ∠A = 52°, ∠B = 52°, ∠C = 128°, ∠D = 128°. У равнобедренной трапеции углы каждого основания попарно равны; у боковой стороны они дополнительны. Проверка: 52+52+128+128=360°.

12. ∠A = 58°, ∠B = 58°, ∠C = 122°, ∠D = 122°. У равнобедренной трапеции углы каждого основания попарно равны; у боковой стороны они дополнительны. Проверка: 58+58+122+122=360°.

13. ∠A = 109°, ∠B = 84°, ∠C = 96°, ∠D = 71°. Использованы независимые равенства A + D = 180° и B + C = 180°. Проверка: 109+84+96+71=360°.

14. ∠A = 101°, ∠B = 118°, ∠C = 62°, ∠D = 79°. Использованы независимые равенства A + D = 180° и B + C = 180°. Проверка: 101+118+62+79=360°.

15. ∠A = 48°, ∠B = 48°, ∠C = 132°, ∠D = 132°. У равнобедренной трапеции углы каждого основания попарно равны; у боковой стороны они дополнительны. Проверка: 48+48+132+132=360°.

16. ∠A = 71°, ∠B = 71°, ∠C = 109°, ∠D = 109°. У равнобедренной трапеции углы каждого основания попарно равны; у боковой стороны они дополнительны. Проверка: 71+71+109+109=360°.

Взаимная проверка и разбор спорных случаев

В паре обменяйтесь только ответами, а не полными решениями. Для каждой строки оцените три признака: (1) сумма A+D равна 180°, (2) сумма B+C равна 180°, (3) все углы положительны и меньше 180°. В равнобедренных случаях дополнительно проверьте A=B и C=D.

Задание 10 не требует равенства углов при основаниях: если ∠C = 73°, то ∠B = 107°, но ∠A задаётся независимо через ∠D. Ошибка «верхние углы всегда равны» превращает обычную трапецию в равнобедренную без основания.

В заданиях 11, 12, 15 и 16 равенство при основаниях действительно законно, потому что равнобедренность прямо указана. Даже там нижний угол обычно не равен верхнему: они дополняют друг друга до 180°.

Оценивание: 16 заданий — 16 баллов за полные числовые ответы и 4 дополнительных балла за объяснение в заданиях 9–12. Не исправляйте числа по внешнему виду рисунка: трапеция может быть нарисована не в масштабе.