Восстановление неизвестной стороны прямоугольника при удвоении одной стороны: упражнения разной сложности, 6 класс

Два варианта для 6 класса · 16 заданий. Прямоугольник имеет длину a и ширину b, где a и b положительны. Если сторону a удвоить, новая площадь S₂ = 2ab, а новый периметр P₂ = 2(2a+b). Само по себе удвоение одной стороны не означает удвоения периметра.

Вариант А — найти сторону по изменившейся площади

Здесь в каждом задании удвоена именно указанная первая сторона; вторая не менялась. Чертёж для каждого примера можно выполнить в тетради. Запишите формулу, восстановите вторую сторону и проверьте исходную площадь.

1. Первая сторона 3 см. После её удвоения площадь стала 42 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
2. Первая сторона 5 см. После её удвоения площадь стала 80 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
3. Первая сторона 7 см. После её удвоения площадь стала 112 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
4. Первая сторона 4 см. После её удвоения площадь стала 72 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
5. Первая сторона 6 см. После её удвоения площадь стала 150 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
6. Первая сторона 8 см. После её удвоения площадь стала 208 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
7. Первая сторона 9 см. После её удвоения площадь стала 162 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.
8. Первая сторона 12 см. После её удвоения площадь стала 288 см². Найдите вторую сторону и прежнюю площадь.

Вариант Б — найти сторону по новому периметру

Теперь известен периметр после удвоения первой стороны. Из равенства P₂ = 4a + 2b следует b = P₂/2 − 2a. Проверка по первоначальному периметру нужна, чтобы не спутать форму и её удвоенный размер.

1. Одна сторона 3 дм, её удвоили. Новый периметр 26 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
2. Одна сторона 4 дм, её удвоили. Новый периметр 36 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
3. Одна сторона 5 дм, её удвоили. Новый периметр 50 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
4. Одна сторона 7 дм, её удвоили. Новый периметр 54 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
5. Одна сторона 8 дм, её удвоили. Новый периметр 68 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
6. Одна сторона 9 дм, её удвоили. Новый периметр 74 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
7. Одна сторона 11 дм, её удвоили. Новый периметр 94 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.
8. Одна сторона 12 дм, её удвоили. Новый периметр 100 дм. Восстановите неизменённую сторону и найдите прежний периметр.

Взаимная проверка двух вариантов

Ученик А передаёт второму только новую площадь и удвоенную сторону; ученик Б — новый периметр и удвоенную сторону. Партнёр восстанавливает неизвестную величину двумя действиями, затем по готовому ответу проверяет исходное условие. Важный признак ошибки: нулевая или отрицательная длина невозможна.

Ключ к варианту А

1. 42 = 2·3·b, поэтому b = 42/(6) = 7 см. До удвоения S₁ = 3·7 = 21 см²; проверка: 2S₁ = 42 см².
2. 80 = 2·5·b, поэтому b = 80/(10) = 8 см. До удвоения S₁ = 5·8 = 40 см²; проверка: 2S₁ = 80 см².
3. 112 = 2·7·b, поэтому b = 112/(14) = 8 см. До удвоения S₁ = 7·8 = 56 см²; проверка: 2S₁ = 112 см².
4. 72 = 2·4·b, поэтому b = 72/(8) = 9 см. До удвоения S₁ = 4·9 = 36 см²; проверка: 2S₁ = 72 см².
5. 150 = 2·6·b, поэтому b = 150/(12) = 25/2 см. До удвоения S₁ = 6·25/2 = 75 см²; проверка: 2S₁ = 150 см².
6. 208 = 2·8·b, поэтому b = 208/(16) = 13 см. До удвоения S₁ = 8·13 = 104 см²; проверка: 2S₁ = 208 см².
7. 162 = 2·9·b, поэтому b = 162/(18) = 9 см. До удвоения S₁ = 9·9 = 81 см²; проверка: 2S₁ = 162 см².
8. 288 = 2·12·b, поэтому b = 288/(24) = 12 см. До удвоения S₁ = 12·12 = 144 см²; проверка: 2S₁ = 288 см².

Ключ к варианту Б

1. 26 = 2·(2·3+b). b = 26/2−6 = 7 дм. До изменения P₁ = 2·(3+7) = 20 дм. Контроль: 2·(6+7) = 26 дм.
2. 36 = 2·(2·4+b). b = 36/2−8 = 10 дм. До изменения P₁ = 2·(4+10) = 28 дм. Контроль: 2·(8+10) = 36 дм.
3. 50 = 2·(2·5+b). b = 50/2−10 = 15 дм. До изменения P₁ = 2·(5+15) = 40 дм. Контроль: 2·(10+15) = 50 дм.
4. 54 = 2·(2·7+b). b = 54/2−14 = 13 дм. До изменения P₁ = 2·(7+13) = 40 дм. Контроль: 2·(14+13) = 54 дм.
5. 68 = 2·(2·8+b). b = 68/2−16 = 18 дм. До изменения P₁ = 2·(8+18) = 52 дм. Контроль: 2·(16+18) = 68 дм.
6. 74 = 2·(2·9+b). b = 74/2−18 = 19 дм. До изменения P₁ = 2·(9+19) = 56 дм. Контроль: 2·(18+19) = 74 дм.
7. 94 = 2·(2·11+b). b = 94/2−22 = 25 дм. До изменения P₁ = 2·(11+25) = 72 дм. Контроль: 2·(22+25) = 94 дм.
8. 100 = 2·(2·12+b). b = 100/2−24 = 26 дм. До изменения P₁ = 2·(12+26) = 76 дм. Контроль: 2·(24+26) = 100 дм.

Разбор типичной ошибки. При удвоении стороны 3 см в прямоугольнике 3×7 см периметр был 20 см, а стал 26 см, а не 40 см. При этом площадь выросла с 21 до 42 см². У площади и периметра разные законы изменения.

Три способа проверить восстановленную сторону

Проверка подстановкой в исходную формулу. Для первого задания варианта А известна сторона 3 см и площадь нового прямоугольника 42 см². Восстановленная неизменённая сторона равна 7 см. Подставьте её в формулу нового прямоугольника: 6 · 7 = 42 см². Если вместо 7 получилось бы 14, площадь оказалась бы вдвое больше требуемой. Такой контроль обнаруживает пропущенное удвоение известной стороны.

Проверка по изменению площади. Исходная площадь должна быть ровно в два раза меньше новой, поскольку менялась только одна сторона. Но это правило не переносится на периметр: две стороны границы увеличиваются, две остаются прежними. Если длина выросла с 5 до 10 см при неизменной ширине 8 см, исходный периметр 2·(5+8) = 26 см, а новый 2·(10+8) = 36 см. Это не 52 см.

Проверка существования. Если после удвоения известной стороны 9 дм сообщается новый периметр 30 дм, то неизменённая сторона по формуле равна 30/2 − 18 = −3 дм. Отрицательная длина невозможна: такой прямоугольник при данных условиях не существует. Нельзя молча записать «3 дм», отбросив минус; верное решение — объяснить противоречие в данных.

Если сторона не целая. Вариант А допускает дробные размеры. Например, при исходной известной стороне 4 см и площади после удвоения 20 см² получаем b = 20/8 = 2,5 см. Площадь исходного прямоугольника 10 см², нового — 20 см². Дробная длина не делает задачу ошибочной, в отличие от нулевой или отрицательной.