Восстановление неизвестной стороны прямоугольника с переводом кубических сантиметров в литры — мини-практикум с ответами, 6 класс

6 класс · 18 заданий с ответами. В заголовке встречаются одновременно «сторона прямоугольника» и «литры». Литрами нельзя измерить площадь плоского прямоугольника. Поэтому здесь прямоугольник — основание прямоугольного сосуда, а его высота дополнительно известна.

Маршрут: от площади основания к объёму

Пусть неизвестная длина основания x см, ширина b см, высота сосуда h см. Тогда площадь основания S = bx см², объём V = bxh см³. Поскольку 1 л = 1000 см³, если объём дан в литрах, искомая длина x = 1000V/(bh). Нужно помнить, что все стороны положительны и в одинаковых единицах.

Ступень 1 — единицы объёма и смысл формулы

1. Переведите 3 л в кубические сантиметры.
2. Переведите 2500 см³ в литры.
3. Основание 10×12 см, высота 15 см. Найдите объём в см³ и литрах.
4. Почему нельзя 200 см² напрямую перевести в литры?

Развилка — верный или ошибочный способ

Ученик получил для коробки объём 2,4 л, ширину основания 8 см и высоту 10 см. Он записал x = 2,4 : (8·10) = 0,03 см. Ошибка в том, что литры не переведены в кубические сантиметры. Корректно: x = 2400/(8·10) = 30 см.

Ступень 2 — восстановление стороны прямоугольного основания

1. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 4 см, её высота 10 см, объём 1 л. Найдите неизвестную длину основания.
2. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 6 см, её высота 8 см, объём 6/5 л. Найдите неизвестную длину основания.
3. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 9 см, её высота 10 см, объём 9/5 л. Найдите неизвестную длину основания.
4. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 12 см, её высота 5 см, объём 9/5 л. Найдите неизвестную длину основания.
5. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 15 см, её высота 8 см, объём 12/5 л. Найдите неизвестную длину основания.
6. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 18 см, её высота 5 см, объём 9/5 л. Найдите неизвестную длину основания.
7. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 20 см, её высота 6 см, объём 3 л. Найдите неизвестную длину основания.
8. Прямоугольное основание ёмкости имеет ширину 24 см, её высота 5 см, объём 3 л. Найдите неизвестную длину основания.

Ступень 3 — диагностика ошибок и задачи в несколько шагов

1. Ёмкость в форме прямоугольного параллелепипеда: ширина основания 10 см, высота 20 см, объём 4 л. Найдите длину основания и площадь основания.
2. Объём 3,6 л, высота 15 см, длина основания 24 см. Найдите ширину.
3. Площадь основания 160 см² и объём 2,4 л. Найдите высоту.
4. Объём 1,5 л, ширина 5 см, высота 10 см. Оцените, больше ли длина основания 25 см.
5. Сосуд имеет основание 12×x см, высоту 10 см, объём 1,8 л. Ученик назвал x=15 л. Исправьте ответ и единицу.
6. В коробке ширина 8 см и высота 25 см. Какой длины должно быть основание для объёма 2 л?

Ответы и подробные решения

Ступень 1

1. 3·1000 = 3000 см³.
2. 2500:1000 = 2,5 л.
3. 10·12·15 = 1800 см³ = 1,8 л.
4. См² измеряют площадь, а литры объём. Требуется дополнительная высота: объём = площадь основания · высота.

Ступень 2

1. 1 л = 1000 см³; x = 1000/(4·10) = 25 см. Проверка: 4·25·10 = 1000 см³ = 1 л.
2. 6/5 л = 1200 см³; x = 1200/(6·8) = 25 см. Проверка: 6·25·8 = 1200 см³ = 6/5 л.
3. 9/5 л = 1800 см³; x = 1800/(9·10) = 20 см. Проверка: 9·20·10 = 1800 см³ = 9/5 л.
4. 9/5 л = 1800 см³; x = 1800/(12·5) = 30 см. Проверка: 12·30·5 = 1800 см³ = 9/5 л.
5. 12/5 л = 2400 см³; x = 2400/(15·8) = 20 см. Проверка: 15·20·8 = 2400 см³ = 12/5 л.
6. 9/5 л = 1800 см³; x = 1800/(18·5) = 20 см. Проверка: 18·20·5 = 1800 см³ = 9/5 л.
7. 3 л = 3000 см³; x = 3000/(20·6) = 25 см. Проверка: 20·25·6 = 3000 см³ = 3 л.
8. 3 л = 3000 см³; x = 3000/(24·5) = 25 см. Проверка: 24·25·5 = 3000 см³ = 3 л.

Ступень 3

1. 4000 см³ : (10·20) = 20 см. Площадь основания 10·20 = 200 см².
2. 3600/(15·24) = 10 см.
3. 2400/160 = 15 см; нельзя делить литры на квадратные сантиметры без перевода.
4. x = 1500/(5·10) = 30 см, да, больше 25 см.
5. x = 1800/(12·10) = 15 см. Длина не может измеряться литрами.
6. x = 2000/(8·25) = 10 см.

Самопроверка: после нахождения длины снова умножьте три длины в сантиметрах и разделите произведение на 1000: должен получиться заданный объём в литрах. Если результат невозможен по условиям (например, сторона равна −2 см), данные или вычисления ошибочны.

Почему формула работает и как проверить размерность

Основание прямоугольного сосуда имеет две стороны. Их произведение — площадь основания, измеряемая в квадратных сантиметрах. При умножении этой площади на высоту получаем кубические сантиметры. Литр — тоже единица объёма, но не площади. Поэтому выражение «перевести площадь прямоугольника в литры» без дополнительной высоты не имеет смысла. В наших задачах высота всегда дана.

Разберём ещё один образец с дробным количеством литров. Контейнер вмещает 1,2 л, ширина его основания 12 см, высота 8 см. Сначала переводим объём: 1,2 л = 1200 см³. Площадь основания равна 1200 : 8 = 150 см². Длина второй стороны: 150 : 12 = 12,5 см. Проверка: 12 · 12,5 · 8 = 1200 см³. Ответ 12,5 см не следует округлять до 13 см, поскольку точное решение допустимо и все числа даны точно.

Если вместо высоты известна только диагональ прямоугольного основания, простой формулы x = 1000V/(bh) использовать нельзя: не хватает одной независимой величины. Также не получится найти обе стороны основания по одному объёму и высоте — прямоугольников одинаковой площади существует множество. Например, основание 10×20 см и основание 5×40 см имеют одинаковую площадь 200 см²; при высоте 10 см оба дадут объём 2 л.

Три наиболее частые арифметические ошибки

Первая: путают порядок перевода и делят литры на длины в сантиметрах. В числителе формулы обязательно должен стоять объём в см³. Вторая: делят только на ширину основания и забывают высоту. Тогда получают не длину, а величину другой размерности. Третья: умножают на 1000 уже после получения длины, получая ответ в тысячу раз больше.

Удобно проводить проверку в обратном порядке. Найдя неизвестную длину, восстановите площадь основания в см², умножьте её на высоту в см, а затем разделите объём в см³ на 1000. Если полученное число литров не равно условию, ищите ошибку в делении или переводе единиц.

Для учебной модели сосуд считается полностью заполненным и имеет прямые стенки. Если в задаче сказано, что водой занята только часть высоты, нужно использовать высоту слоя воды, а не всю высоту коробки. Уточнение условия меняет математическую модель, даже когда форма основания остаётся прямоугольной.

Самостоятельная оценка вместимости

Перед точным счётом оцените порядок ответа. Основание 20 см на 20 см при высоте 25 см даёт 20·20·25 = 10 000 см³ = 10 л. Если у сосуда близкие размеры, ответ в сотни литров явно неразумен. У ёмкости с высотой 10 см и основанием около 10×10 см объём около 1 л. Такие ориентиры помогают заметить лишний множитель 1000.

В текстовых задачах иногда сказано «вместимость 2 л, но налито 1 л». При поиске размеров по вместимости нужно брать объём всего сосуда, а не фактически налитой жидкости. Если же требуется найти высоту водяного слоя, используют объём жидкости и площадь основания. Одно и то же прямоугольное основание участвует в двух разных вопросах, и именно формулировка определяет числитель формулы.