Восстановление номера члена при ограничении на сумму первых членов — тренажёр для 9 класса

Цель. Восстановить допустимые номера n арифметической прогрессии, если известны первый член, разность и ограничение на сумму первых n членов. В этом тренажёре n — положительное целое число, а не произвольный действительный корень квадратного уравнения. Запись Sₙ означает сумму a₁ + a₂ + … + aₙ, где aₙ = a₁ + (n − 1)d.

Подозрительное утверждение: «чем больше n, тем больше сумма»

Утверждение верно, когда каждый добавляемый член положителен: Sₙ₊₁ − Sₙ = aₙ₊₁ > 0. Но для убывающей прогрессии новые слагаемые могут стать отрицательными. Например, при a₁ = 12, d = −2 сумма сначала возрастает, а затем уменьшается. Поэтому нельзя без проверки брать первый найденный корень неравенства и объявлять все большие номера недопустимыми.

Почему формула даёт правильный номер

Сложим последовательность a₁, a₂, …, aₙ с той же последовательностью в обратном порядке. Каждая из n пар даёт 2a₁ + (n − 1)d. Получаем Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d]/2. Чтобы восстановить номер, подставляем ограничение (например, Sₙ ≤ C), решаем неравенство относительно n, а затем оставляем только положительные целые n и учитываем дополнительные ограничения условия.

Для самопроверки можно вычислить сумму на граничных номерах, например на n и n + 1. Это показывает, почему один номер подходит, а следующий уже нет. При отрицательной разности последовательность сумм может быть немонотонной, и тогда нужно проверять оба конца подходящего промежутка. Нулевая разность d = 0 даёт Sₙ = na₁ — линейную задачу.

Первый разбор — граница бюджета

Если a₁ = 4, d = 2, а Sₙ ≤ 70, то Sₙ = n[8 + 2(n − 1)]/2 = n(n + 3). Находим n² + 3n − 70 ≤ 0, то есть (n + 10)(n − 7) ≤ 0. Вещественный промежуток −10 ≤ n ≤ 7, но номер может быть только целым и не меньше 1: n = 1, 2, …, 7. Контроль: S₇ = 70, S₈ = 88. Номер 8 условие нарушает.

Практикум: двенадцать заданий на обоснование

Во всех заданиях прогрессия начинается с номера 1. Если не сказано иначе, рассматривайте любые положительные целые номера. Записывайте формулу Sₙ, проверяйте полученное множество номеров и объясняйте, почему граница включена или исключена. Решения приведены ниже, но сначала попробуйте доказать ответ самостоятельно.

Задание 1. a₁ = 6, d = 3; условие Sₙ ≤ 81, 1 ≤ n ≤ 16. Найдите наибольший номер, при котором сумма не превышает лимит.

Задание 2. a₁ = 3, d = 4; условие Sₙ ≤ 93, 1 ≤ n ≤ 15. Найдите все номера для допустимой суммы.

Задание 3. a₁ = 7, d = 2; условие Sₙ ≥ 100, 1 ≤ n ≤ 14. Найдите наименьший номер, при котором сумма достигла порога.

Задание 4. a₁ = 10, d = 0; условие Sₙ ≤ 95, 1 ≤ n ≤ 20. Исследуйте особый случай постоянных членов.

Задание 5. a₁ = 12, d = -2; условие Sₙ ≥ 40, 1 ≤ n ≤ 12. Укажите все номера в пределах первого дюжины членов; объясните два конца промежутка.

Задание 6. a₁ = -3, d = 4; условие Sₙ ≥ 88, 1 ≤ n ≤ 14. Прогрессия начинается отрицательным членом. Найдите допустимые номера.

Задание 7. a₁ = 15, d = -3; условие Sₙ ≥ 42, 1 ≤ n ≤ 10. Сумма сначала возрастает, потом убывает. Найдите все номера.

Задание 8. a₁ = 5, d = 5; условие Sₙ = 140, 1 ≤ n ≤ 15. Найдите номер, при котором сумма равна заданному числу.

Задание 9. a₁ = 2, d = -1; условие Sₙ ≤ 0, 1 ≤ n ≤ 11. Разберите переход суммы через ноль.

Задание 10. a₁ = 8, d = 1; условие Sₙ < 98, 1 ≤ n ≤ 16. Строгая граница: найдите все допустимые номера.

Задание 11. a₁ = 0, d = 0; условие Sₙ = 0, 1 ≤ n ≤ 15. Обоснуйте, почему ответ не единственный. Номера в пределах 1–15.

Задание 12. a₁ = 10, d = -4; условие Sₙ = 0, 1 ≤ n ≤ 12. Возможно ли два разных положительных номера с нулевой суммой?

Ответы и доказательные проверки

1. Sₙ = n[2·(6) + (n − 1)·(3)]/2. Подстановка целых n с учётом ≤ 81 даёт 1, 2, 3, 4, 5, 6. На краях множества: S₁ = 6, S₆ = 81. Здесь положительная разность обеспечивает рост членов; проверьте сравнение с порогом на соседнем номере.

2. Sₙ = n[2·(3) + (n − 1)·(4)]/2. Подстановка целых n с учётом ≤ 93 даёт 1, 2, 3, 4, 5, 6. На краях множества: S₁ = 3, S₆ = 78. Здесь положительная разность обеспечивает рост членов; проверьте сравнение с порогом на соседнем номере.

3. Sₙ = n[2·(7) + (n − 1)·(2)]/2. Подстановка целых n с учётом ≥ 100 даёт 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. На краях множества: S₈ = 112, S₁₄ = 280. Здесь положительная разность обеспечивает рост членов; проверьте сравнение с порогом на соседнем номере.

4. Sₙ = n[2·(10) + (n − 1)·(0)]/2. Подстановка целых n с учётом ≤ 95 даёт 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. На краях множества: S₁ = 10, S₉ = 90. При d = 0 сумма линейно зависит от n.

5. Sₙ = n[2·(12) + (n − 1)·(-2)]/2. Подстановка целых n с учётом ≥ 40 даёт 5, 6, 7, 8. На краях множества: S₅ = 40, S₈ = 40. При d < 0 функция Sₙ может иметь вершину: проверьте весь указанный промежуток, а не только одну границу.

6. Sₙ = n[2·(-3) + (n − 1)·(4)]/2. Подстановка целых n с учётом ≥ 88 даёт 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. На краях множества: S₈ = 88, S₁₄ = 322. Здесь положительная разность обеспечивает рост членов; проверьте сравнение с порогом на соседнем номере.

7. Sₙ = n[2·(15) + (n − 1)·(-3)]/2. Подстановка целых n с учётом ≥ 42 даёт 4, 5, 6, 7. На краях множества: S₄ = 42, S₇ = 42. При d < 0 функция Sₙ может иметь вершину: проверьте весь указанный промежуток, а не только одну границу.

8. Sₙ = n[2·(5) + (n − 1)·(5)]/2. Подстановка целых n с учётом = 140 даёт 7. На краях множества: S₇ = 140, S₇ = 140. Здесь положительная разность обеспечивает рост членов; проверьте сравнение с порогом на соседнем номере.

9. Sₙ = n[2·(2) + (n − 1)·(-1)]/2. Подстановка целых n с учётом ≤ 0 даёт 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. На краях множества: S₅ = 0, S₁₁ = -33. При d < 0 функция Sₙ может иметь вершину: проверьте весь указанный промежуток, а не только одну границу.

10. Sₙ = n[2·(8) + (n − 1)·(1)]/2. Подстановка целых n с учётом < 98 даёт 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. На краях множества: S₁ = 8, S₈ = 92. Здесь положительная разность обеспечивает рост членов; проверьте сравнение с порогом на соседнем номере.

11. Sₙ = n[2·(0) + (n − 1)·(0)]/2. Подстановка целых n с учётом = 0 даёт все целые n от 1 до 15. На краях множества: S₁ = 0, S₁₅ = 0. При d = 0 сумма линейно зависит от n.

12. Sₙ = n[2·(10) + (n − 1)·(-4)]/2. Подстановка целых n с учётом = 0 даёт 6. На краях множества: S₆ = 0, S₆ = 0. При d < 0 функция Sₙ может иметь вершину: проверьте весь указанный промежуток, а не только одну границу.

Особые случаи: как не получить ложный ответ

Если решение квадратного неравенства даёт интервал, например 2,3 ≤ n ≤ 6,8, то допустимы только номера 3, 4, 5, 6. Нельзя округлить 2,3 до 2, а 6,8 до 7: эти номера не удовлетворяют исходному неравенству. Если уравнение для n имеет корень −5, его отбрасывают, поскольку такого номера члена не существует.

Если d < 0, выпишите знак очередного члена aₙ₊₁: при переходе n → n + 1 сумма увеличивается ровно на aₙ₊₁. Как только член становится отрицательным, сумма начинает уменьшаться. Это объясняет, почему неравенство Sₙ ≥ C иногда имеет ограниченный промежуток решений, даже если прогрессия продолжается бесконечно.

Проверьте третий типичный сбой: знак строгого неравенства. Из Sₙ < 98 нельзя делать Sₙ ≤ 98. Для точного порога и целочисленного номера член на границе может быть исключён. В заданиях с Sₙ = C подстановка найденного номера обратно в сумму обязательна.

Критерий оценки: верная формула суммы — 1 балл; корректный перевод ограничения — 1 балл; проверка положительных целых номеров и границы — ещё 1 балл за задачу. В заданиях 5, 7, 9 и 12 отдельно укажите, почему способ «сумма всегда растёт» даёт неправильное рассуждение. Полезно сравнить Sₙ и Sₙ₊₁, не пересчитывая все члены с первого.