Восстановление образующей для цилиндра без верхнего основания: самостоятельная работа, 11 класс

Математика, 11 класс. Цель: восстанавливать образующую прямого цилиндра по площади боковой стенки и единственного дна.

Наблюдение: куда исчезла вторая окружность?

Из листа металла делают высокий круглый сосуд без крышки. Радиус дна равен 3 см, а площадь использованного материала без припусков и швов равна 51π см². Какова высота стенки? Если написать S = 2πrh + 2πr², ответ окажется неверным: у сосуда имеется только одно дно.

Проведите мысленную развёртку: боковая поверхность — прямоугольник длиной 2πr и высотой h; ещё одна фигура — круг площадью πr². Получается S = 2πrh + πr². Подставляем числа: 51π = 6πh + 9π, поэтому h = 7 см. У прямого кругового цилиндра образующая равна его высоте: l = h.

Вывод, который нужно обосновать

При r > 0 и h > 0 из формулы следует l = (S − πr²)/(2πr). Условие S > πr² строгое: при равенстве площадь боковой стенки равна нулю, и вместительного цилиндра нет. При S < πr² положительной высоты не существует. Если дно отсутствует, формула меняется на S = 2πrh; если крышка есть — на S = 2πrh + 2πr².

Полезная обратная проверка: восстановив l, найдите площадь боковой стенки как 2πrl, прибавьте площадь единственного дна и сравните с данным S. Величину π не следует преждевременно заменять на 3,14: для большинства задач удобен точный ответ.

Лаборатория гипотез — 14 заданий

Сначала решите задания 1–5 непосредственно по формуле, затем 6–9 используйте для проверки границ модели, а 10–14 — для обратного контроля и объяснения решений. Ответьте на каждый вопрос не только числом, но и коротким обоснованием.

1. 1. У открытого сверху цилиндра r = 2 см, S = 28π см². Найдите образующую.
2. 2. r = 4 см, S = 80π см². Какова длина образующей?
3. 3. r = 5 см, S = 65π см². Определите высоту.
4. 4. r = 6 дм, S = 108π дм². Найдите образующую и площадь стенки.
5. 5. r = 1,5 м, S = 14,25π м². Найдите l.
6. 6. r = 3 см, S = 9π см². Можно ли изготовить сосуд положительной высоты?
7. 7. r = 2 см, S = 3π см². Ученик получил отрицательную высоту. Что это означает?
8. 8. При r = 3 см и S = 45π см² сравните l для открытого и закрытого цилиндров.
9. 9. Радиус удвоили с 2 до 4 см, площадь сохранили 52π см². Как изменится l?
10. 10. r = 4 см, Sбок = 48π см². Найдите l и S с учётом дна.
11. 11. Площадь дна равна 25π см², общая площадь материала 85π см². Найдите l.
12. 12. r = 3 см; образующая, ошибочно найденная для закрытого цилиндра, равна 5 см при площади 48π см². Найдите правильную для открытого.
13. 13. r = 2,5 см, S = 31,25π см². Восстановите образующую.
14. 14. Для r = 3 см найдите минимальную площадь материала открытого сосуда высотой не меньше 5 см.

Проверка гипотезы на контрпримере

Некоторые ученики рассуждают: «У любого цилиндра две окружности, поэтому всегда нужно вычитать две площади основания». Это неверно для сосудов без крышки. Задание 8 показывает, что при одной и той же площади материала формула для закрытого цилиндра даёт другую высоту. Слово «цилиндр» описывает геометрию; при вычислении расхода материала надо уточнить, какие поверхности реально изготавливаются.

Решения и контрольные ответы

1. l = (28 − 4)/(2·2) = 6 см; обратная проверка: 24π + 4π = 28π.
2. l = (80 − 16)/8 = 8 см.
3. l = (65 − 25)/10 = 4 см.
4. l = (108 − 36)/12 = 6 дм; боковая площадь 72π дм².
5. l = (14,25 − 2,25)/3 = 4 м.
6. Нет: S = πr², на стенку не остаётся материала; l = 0.
7. Дно требует 4π см². Физически допустимого сосуда нет; нельзя принимать отрицательную образующую.
8. Открытый: (45 − 9)/6 = 6 см; закрытый: (45 − 18)/6 = 4,5 см.
9. При r = 2: (52 − 4)/4 = 12 см; при r = 4: (52 − 16)/8 = 4,5 см.
10. l = 48/8 = 6 см; S = 48π + 16π = 64π см².
11. r = 5 см, Sбок = 60π; l = 60/10 = 6 см.
12. (48 − 9)/6 = 6,5 см; для закрытого цилиндра (48 − 18)/6 = 5 см.
13. l = (31,25 − 6,25)/5 = 5 см.
14. Smin = 2π·3·5 + π·9 = 39π см²; большей высоте соответствует большая площадь.

Обсудите как вывод исследования: при неизменном r площадь открытого сверху сосуда линейно растёт с l, а при изменении радиуса высота не обязана меняться пропорционально радиусу. Учитываются одновременно площадь круга и длина его окружности; именно поэтому решение следует проверять обратной подстановкой.

Разбор распространённых способов рассуждения

Случай с фиксированной площадью дна полезно рассматривать отдельно. Если известна только площадь дна, из неё можно восстановить радиус как положительный корень из отношения этой площади к π. Затем площадь дна вычитают из общего расхода материала. Например, при площади дна 16π см² и общем расходе 64π см² радиус равен 4 см, а стенка занимает 48π см²; образующая равна 48π/(8π) = 6 см. Здесь все шаги можно проверить независимо друг от друга.

Другой способ проверки состоит в прямом подсчёте поверхности по найденному ответу. Для открытого сосуда не требуется ни учитывать верхний круг, ни вычитать площадь отверстия из круга дна: дно здесь сплошное, а отсутствует только крышка. Эти две ситуации имеют разный геометрический смысл. Если в условии сказано «без верхнего основания», это означает отсутствие одного круга, а не появление полости внутри нижнего круга.

Наконец, следите за единицами. Если радиус дан в дециметрах, а площадь в квадратных сантиметрах, сначала переведите величины к единой системе. Условие S > πr² необходимо не формально: оно выражает наличие материала для положительной по высоте боковой стенки. При невозможных данных корректным ответом будет объяснение противоречия, а не отрицательное число сантиметров.