Восстановление образующей при упаковке в форму призмы — задачи с решениями для 11 класса

Математика, 11 класс. Цель: находить образующую цилиндрического предмета и проверять, помещается ли он в прямоугольную призму.

Ошибка, с которой начинается задача

Для цилиндрического рулона радиуса 3 см известна площадь боковой обёртки 42π см². Рулон хотят поставить вертикально в прямоугольную коробку 7 × 8 × 9 см. Ученик написал: «Образующая равна 42π/(7 + 8) ≈ 8,8 см». Он разделил площадь цилиндра на размеры прямоугольного основания коробки, хотя у цилиндра развертка имеет ширину 2πr, а не периметр призмы.

Правильный расчёт: l = Sбок/(2πr) = 42π/(6π) = 7 см. Диаметр рулона 6 см, поэтому он помещается в основание 7 × 8 см; высота 7 см не превосходит высоту коробки 9 см. Здесь «упаковка в форму призмы» означает проверку геометрического размещения цилиндра в прямой прямоугольной призме, без наклона и деформации.

Пять типичных ошибок — найдите и исправьте

В следующих пяти пунктах сначала назовите ошибочный шаг, затем вычислите правильную образующую или сделайте вывод о размещении. Обозначение a × b × H относится к внутренним размерам коробки, S — к боковой поверхности цилиндрического предмета.

1. При r = 2 см, S = 20π см² принято l = S/(πr) = 10 см.
2. Для r = 4 см и l = 6 см коробку 7 × 10 × 8 см сочли подходящей, потому что 4 < 7.
3. Цилиндр диаметра 6 см, l = 8 см помещают в коробку 8 × 8 × 7 см, потому что основание подходит.
4. При r = 3 см, S = 54π см² ученик получил l = 9π см.
5. По S = 24π см² и r = 0 см вычисляют l = 24π/(0).

Закрепление: проверка упаковки и восстановление высоты

1. r = 3 см; S = 60π см²; коробка 7 × 7 × 11 см. Найдите l и проверьте упаковку.
2. r = 5 см, S = 100π см²; коробка 11 × 12 × 9 см.
3. r = 2 см, S = 16π см²; коробка 5 × 6 × 6 см.
4. r = 4 см, S = 48π см²; коробка 8 × 9 × 6 см.
5. Диаметр рулона 10 см; площадь боковой обёртки 70π см². Найдите l.
6. S = 30π см², l = 5 см. Найдите радиус и минимальную узкую сторону основания коробки.
7. Рулон r = 1,5 дм, S = 18π дм²; коробка 3 × 4 × 7 дм.
8. Коробка имеет основание 8 × 10 см и высоту 12 см. Какой максимальный радиус вертикально стоящего цилиндра?
9. Для r = 4 см и коробки высотой 7 см найдите наибольшую допустимую площадь боковой поверхности цилиндра.
10. У цилиндра r = 3 см, S = 39π см²; коробка 8 × 8 × 7 см. Помещается ли он вертикально?
11. Упаковщик заменил r = 2 см диаметром 2 см при S = 24π см². Сравните полученные высоты.

Разбор и правильные ответы

Разбор пяти ошибок

1. Забыли множитель 2 в длине окружности: l = 20π/(4π) = 5 см.
2. Сравнивать следует диаметр 8 см с узкой стороной 7 см: цилиндр вертикально не помещается.
3. Высота предмета 8 см > 7 см; при вертикальном размещении коробка слишком низкая.
4. π сокращается: l = 54π/(6π) = 9 см.
5. Делить на ноль нельзя; цилиндр положительного радиуса необходим для этой модели.

Ключ к заданиям 6–16

1. l = 60/(2·3) = 10 см; 6 ≤ 7 и 10 ≤ 11, значит помещается.
2. l = 10 см. По основанию подходит (10 ≤ 11), но по высоте нет (10 > 9).
3. l = 4 см; диаметр 4 см ≤ 5, высота 4 ≤ 6: подходит.
4. l = 6 см; размеры совпадают по одному из ограничений, подходит без зазора.
5. r = 5; l = 70/(2·5) = 7 см.
6. r = S/(2πl) = 3 см; узкая сторона не менее 6 см.
7. l = 18/(3) = 6 дм; 3 ≤ 3 и 6 ≤ 7, подходит.
8. 4 см — половина меньшей стороны основания.
9. Sбок ≤ 2π·4·7 = 56π см²; кроме того, основание коробки должно вмещать диаметр 8 см.
10. l = 39/6 = 6,5 см; диаметр 6 ≤ 8 и 6,5 ≤ 7, подходит.
11. Правильно r = 2: l = 6 см; ошибка r = 1 даёт 12 см, удвоение результата.

Критерий самопроверки: длина образующей должна иметь единицу длины, а не площади. Даже правильная формула l = S/(2πr) не гарантирует, что предмет поместится: отдельно необходимо проверить 2r ≤ min(a,b) и l ≤ H. Проверка относится к вертикальной укладке, поскольку наклонная укладка потребовала бы другой геометрической модели.