Восстановление образующей при заданной площади сечения: тематические карточки для 11 класса

Математика, 11 класс. Цель: восстановить образующую по площади осевого сечения цилиндра или конуса и обосновать выбор модели.

Данные мастерской: сечение вместо поверхности

Мастерская проверяет формы ёмкостей по чертежам осевых сечений. Для прямого цилиндра осевое сечение — прямоугольник ширины 2r и высоты h, его площадь A = 2rh; образующая цилиндра l = h = A/(2r). Для прямого конуса осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 2r и высотой k, так что A = rk, а образующая l = √(r² + k²).

Это две разные модели. Площадь сечения измеряется в квадратных единицах, а образующая — в линейных. Не следует подставлять площадь осевого сечения вместо площади боковой поверхности: у этих площадей разные формулы. В таблице все сечения проходят через ось тела, размеры записаны точно, а объекты считаются прямыми.

Исходная таблица измерений

Связанные вопросы по данным и проверке здравого смысла

1. Восстановите образующую Ц1.
2. Восстановите образующую Ц2.
3. Найдите высоту К1 по площади его треугольного сечения.
4. Найдите образующую К1.
5. Для К2 восстановите высоту и образующую.
6. Сколько квадратных сантиметров составляет осевое сечение цилиндра с r = 4 см и l = 6 см?
7. У цилиндра A = 72 см², r = 6 см. Восстановите образующую.
8. У конуса r = 8 см, осевое сечение 120 см². Найдите l.
9. У конуса r = 6 см, образующая 10 см. Восстановите площадь осевого сечения.
10. Сравните образующие цилиндра и конуса с одинаковыми r = 3 см и A = 24 см².
11. У рабочего листа К1 ошибочно записали l = A/(2r) = 2 см. Почему это невозможно?
12. У другого конуса r = 4 см, A = 12 см². Найдите l и округлите до сотых.
13. В чертеже цилиндра радиус увеличили с 2 до 4 см, площадь сечения сохранили 64 см². Как изменится образующая?
14. В чертеже конуса k = 12 см и r = 5 см. Проверьте осевое сечение и восстановите l.

Модель и ответы

Первая проверка модели: у прямого цилиндра число A/(2r) должно быть положительным. Вторая проверка: у конуса образующая больше радиуса при положительной высоте. При нецелом результате сначала оставьте точный корень и только в конце округлите по условию.

1. 42/(2·3) = 7 см.
2. 90/(2·5) = 9 см.
3. k = 12/3 = 4 см.
4. l = √(3² + 4²) = 5 см.
5. k = 60/5 = 12 см, l = √(5² + 12²) = 13 см.
6. A = 2·4·6 = 48 см².
7. 72/(2·6) = 6 см.
8. k = 120/8 = 15 см; l = √(64 + 225) = 17 см.
9. k = √(100 − 36) = 8 см; A = 6·8 = 48 см².
10. Цилиндр: l = 24/6 = 4 см. Конус: k = 24/3 = 8, l = √73 ≈ 8,54 см.
11. Формула относится к прямоугольнику, а не треугольнику. Кроме того, l не может быть меньше r = 3 см; правильно 5 см.
12. k = 3 см; l = √(16 + 9) = 5,00 см.
13. До изменения l = 64/4 = 16 см; после l = 64/8 = 8 см. Уменьшится вдвое.
14. A = r·k = 60 см², l = √(25 + 144) = 13 см.

Практический итог: осевое сечение помогает восстановить линейный размер без измерения боковой поверхности. Если сечение не проходит через ось, его ширина уже не обязана равняться диаметру, поэтому формулы данной таблицы применять нельзя без дополнительной информации.

Как читать чертёж сечения

При работе с цилиндром число 2r — не высота фигуры и не её периметр, а ширина прямоугольного осевого сечения. Поэтому площадь сечения A = 2r·l. Если вместо радиуса дан диаметр d, формула сокращается до A = d·l. Это полезная альтернативная проверка результатов: при диаметре 6 см и площади сечения 42 см² получим те же 7 см образующей, что и при радиусе 3 см.

В случае конуса осевое сечение представляет собой треугольник, и деление площади на удвоенный радиус без множителя 2 приводит к ошибке. Формула площади треугольника включает половину произведения основания на высоту: A = (1/2)·2r·k = rk. Но восстановленная по этой формуле величина k — перпендикулярная высота, а не наклонная образующая. Чтобы найти образующую, нужно ещё применить теорему Пифагора к половине осевого сечения.

Например, у конуса с радиусом 4 см и площадью осевого сечения 12 см² высота k = 3 см. Образующая равна 5 см, а не 3 см. Результат правдоподобен, потому что наклонная сторона прямоугольного треугольника длиннее каждого катета. При округлении образующей сначала следует вычислить квадратный корень точно и только после этого записать число с нужным количеством десятичных знаков.

Ещё одна граница применимости: если на чертеже сечение проведено параллельно оси, но не через неё, полученный прямоугольник может быть уже диаметра основания. В такой задаче нельзя подставлять произвольную ширину вместо 2r. Для данной карточки слово «осевое» принципиально: оно гарантирует прохождение плоскости через ось тела.