Восстановление общего числа исходов при выборе без возвращения: диагностика ошибок, 9 класс

Диагностика: 12 коротких вопросов

На каждое задание — один расчёт и одна короткая проверка. Запишите отдельно, различает ли условие порядок первого и второго результата.

1. Из коробки без возвращения выбирают два пронумерованных предмета по порядку. Всего 42 исхода. Сколько предметов было сначала?
2. Для двух разных предметов без учёта порядка существует 28 пар. Сколько предметов было?
3. При двух последовательных извлечениях без возвращения названо 72 упорядоченных результата. Ученик пишет n²=72. Исправьте.
4. При восьми предметах сколько упорядоченных исходов двух выборов без возвращения?
5. При восьми предметах сколько неупорядоченных пар?
6. Если 5 первых кандидатов допустимы, а второй выбор — любой другой из n предметов, число исходов равно 45. Найдите n.
7. Число упорядоченных исходов равно 110. Определите n и выполните обратную проверку.
8. В списке 10 предметов. Сколько упорядоченных пар с двумя разными номерами?
9. Для неупорядоченной пары получили 66 вариантов. Сколько исходных объектов?
10. Ученик утверждает, что из шести участников можно выбрать 30 разных пар без учёта порядка. Найдите ошибку.
11. Получено 20 упорядоченных исходов для двух извлечений. Каким числом исходов стало бы больше, если разрешить возвращение?
12. Эксперимент без возвращения дал 12 неупорядоченных пар. Может ли такое число быть верным для целого n?

Баллы и критерии

По 1 баллу за верное уравнение подсчёта и ещё по 1 баллу за найденный ответ с проверкой: максимум 24 балла. 21–24 — уверенно; 16–20 — хорошо; 10–15 — нужна тренировка различения порядка; 0–9 — повторите формулы для извлечения без возвращения. Если дано невозможное число исходов, правильный ответ должен это отметить.

Ключ и объяснения ловушек

1. n(n−1)=42; n=7, поскольку 7·6=42.
2. n(n−1)/2=28; n=8, так как 8·7/2=28.
3. n(n−1)=72: n=9; квадрат n² допускает повторение того же предмета.
4. 8·7=56; порядок учитывается.
5. 8·7/2=28; пары {a,b} и {b,a} не различаются.
6. 5(n−1)=45; n−1=9, n=10. Предполагается, что все пять допустимых первых предметов разные.
7. n(n−1)=110; n=11: 11·10=110.
8. 10·9=90. После первого выбора остаётся 9 допустимых номеров.
9. n(n−1)/2=66; n=12, ведь 12·11/2=66.
10. 30=6·5 — упорядоченные пары. Без порядка 6·5/2=15.
11. n(n−1)=20 даёт n=5. С возвращением было бы n²=25, то есть на 5 больше.
12. Нет. n(n−1)/2=12 означает n(n−1)=24; между n=5 (20) и n=6 (30) решения в натуральных числах нет.

Главное различие: n(n−1) для последовательных упорядоченных пар разных предметов и n(n−1)/2 для неупорядоченных пар. При разрешённом возвращении упорядоченных исходов n². Физические предметы предполагаются различимыми и равновозможными при выборе; число исходов не равно числу категорий цвета.