Восстановление общего решения на ограниченном интервале углов: самостоятельная работа, 10 класс

Математика, 10 класс · MATH-1729.

Учебная цель: исправлять ошибки в общих формулах решений и отбирать корни с учётом открытых и закрытых границ интервала.

Исправьте пять ошибочных отборов

Ниже неверные ответы ученика. Перепишите каждое общее решение с целым k, затем правильно отберите корни. Для квадратных скобок границы включены, для круглых — исключены. Переход к одному частному углу не восстанавливает периодическое семейство.

1. sin x=0 на [0;2π] ⇒ {0;π}
2. cos x=1 на (−π;π) ⇒ {0;2π}
3. tg x=1 на [0;π] ⇒ {π/4;5π/4}
4. cos x=−1 на [−π;π] ⇒ {π}
5. sin x=1 на (0;π/2) ⇒ {π/2}

Вторая часть: ограничьте общее семейство

Во всех 12 заданиях укажите полную формулу для x с параметром k и выпишите только те значения, которые лежат на указанном отрезке. Не добавляйте корни вне границ даже тогда, когда они имеют правильное значение функции.

6. sin x=0; отрезок [−π;π]
7. cos x=1; отрезок [0;2π]
8. sin x=1; отрезок [−π;2π]
9. sin x=−1; отрезок [−2π;π]
10. cos x=−1; отрезок [0;3π]
11. tg x=0; отрезок [−π;2π]
12. tg x=1; отрезок [0;2π]
13. tg x=−1; отрезок [−π;π]
14. cos x=0; отрезок [−π;π]
15. sin x=1/2; отрезок [0;2π]
16. cos x=1/2; отрезок [−π;π]
17. sin x=−1/2; отрезок [−π;π]

Ключ к поиску ошибок

1. Пропущен правый конец 2π. Верно: {0;π;2π}.
2. 2π за пределами интервала. Верно: {0}.
3. 5π/4 не лежит в [0;π]. Верно: {π/4}.
4. Забыт левый конец −π. Верно: {−π;π}.
5. Правая граница открыта; верный ответ — нет корней.

Ключ к самостоятельным заданиям

6. Общее решение: x = 0 + πk, k ∈ ℤ. На [−π;π]: −π, 0, π.
7. Общее решение: x = 0 + 2πk, k ∈ ℤ. На [0;2π]: 0, 2π.
8. Общее решение: x = π/2 + 2πk, k ∈ ℤ. На [−π;2π]: π/2.
9. Общее решение: x = −π/2 + 2πk, k ∈ ℤ. На [−2π;π]: −π/2.
10. Общее решение: x = π + 2πk, k ∈ ℤ. На [0;3π]: π, 3π.
11. Общее решение: x = 0 + πk, k ∈ ℤ. На [−π;2π]: −π, 0, π, 2π.
12. Общее решение: x = π/4 + πk, k ∈ ℤ. На [0;2π]: π/4, 5π/4.
13. Общее решение: x = −π/4 + πk, k ∈ ℤ. На [−π;π]: −π/4, 3π/4.
14. Общее решение: x = π/2 + πk, k ∈ ℤ. На [−π;π]: −π/2, π/2.
15. Общее решение: x = π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ. На [0;2π]: π/6, 5π/6.
16. Общее решение: x = −π/3 + 2πk, k ∈ ℤ, x = π/3 + 2πk, k ∈ ℤ. На [−π;π]: −π/3, π/3.
17. Общее решение: x = −π/6 + 2πk, k ∈ ℤ, x = 7π/6 + 2πk, k ∈ ℤ. На [−π;π]: −5π/6, −π/6.

Пограничные случаи

В первом диагностическом примере формула sin x=0 даёт x=πk; при отборе на [0;2π] допустимы k=0,1,2. В пятом случае интервал (0;π/2) не содержит верхнюю границу, поэтому даже точный угол π/2 исключается. Эта разница между круглой и квадратной скобкой принципиальна, особенно при больших наборах корней.

Проверяйте ответ двумя независимыми вопросами: удовлетворяет ли x уравнению и находится ли он внутри требуемого интервала? Любое нарушение хотя бы одного условия удаляет кандидата. Для tg x дополнительно удостоверьтесь, что cos x≠0; для sin x и cos x такой отдельной ОДЗ не требуется.