Восстановление общего решения при переходе к одной функции — рабочий лист для 10 класса

Математика, 10 класс · MATH-1728.

Учебная цель: сводить уравнение с sin²x и cos²x к одной функции, учитывать границы −1≤sin x,cos x≤1 и восстанавливать общие решения.

Наблюдение: две функции иногда скрывают одно неизвестное

Исследуйте равенство 2sin²x+cos²x=2. Если автоматически искать оба угла по отдельности, вычисления усложняются. Используйте sin²x+cos²x=1: cos²x=1−sin²x. Получается 2sin²x+1−sin²x=2, значит sin²x=1. Это равносильно sin x=±1, откуда x=π/2+πk. Такая замена не требует деления на тригонометрическую функцию, поэтому не теряет точек ОДЗ.

Сформулируйте правило и испытайте его

Если в уравнении встречаются квадраты синуса и косинуса одного аргумента, разумно попробовать заменить cos²x на 1−sin²x или sin²x на 1−cos²x. Затем решается алгебраическое уравнение для t, но с обязательным ограничением −1≤t≤1. Каждое допустимое значение t превращается не в один угол, а в полное периодическое семейство.

Контрпример к поспешному правилу: из sin²x=1/4 нельзя писать только sin x=1/2 — возможен также sin x=−1/2. А вот из sin x=1/2 получаются две ветви в пределах 2π. Сохраняйте оба уровня проверки: допустимые значения функции и полные семейства её углов.

Самостоятельное исследование — 14 уравнений

1. 2sin²x−3sin x+1=0
2. 2sin²x+sin x−1=0
3. 2cos²x−3cos x+1=0
4. 2cos²x+3cos x+1=0
5. sin²x+cos²x+sin x=2
6. sin²x+cos²x−cos x=0
7. sin²x=cos²x
8. 2sin²x+cos²x=2
9. 2cos²x+sin²x=1
10. 3sin²x−2(1−cos²x)=1
11. 2sin²x−sin x−2=0
12. 2cos²x+cos x−2=0
13. sin²x+cos²x=−1
14. 4sin²x−4sin x+1=0

Ответы с преобразованиями и полными семействами

1. Положим t=sin x; (2t−1)(t−1)=0, t=1/2 либо 1. Значит x=π/6+2πk, 5π/6+2πk либо π/2+2πk.
2. t=sin x; (2t−1)(t+1)=0. Корни x=π/6+2πk, 5π/6+2πk либо 3π/2+2πk.
3. t=cos x; t=1/2 либо 1. Корни x=±π/3+2πk либо 2πk.
4. t=cos x; t=−1/2 либо −1. Корни x=±2π/3+2πk либо π+2πk.
5. По основному тождеству sin x=1. Значит x=π/2+2πk.
6. Сумма квадратов равна 1; cos x=1, x=2πk.
7. Заменяем cos²x=1−sin²x: sin²x=1/2. Следовательно x=π/4+πk/2.
8. Подставьте cos²x=1−sin²x: sin²x=1. Отсюда x=π/2+πk.
9. Подставьте sin²x=1−cos²x: cos²x=0. x=π/2+πk.
10. 1−cos²x=sin²x, получается sin²x=1, x=π/2+πk.
11. t=sin x, t=(1±√17)/4; (1+√17)/4>1 недопустим. Остаётся t=(1−√17)/4 ∈[−1,1], x=arcsin t+2πk или x=π−arcsin t+2πk.
12. t=cos x, t=(−1±√17)/4. Значение (−1−√17)/4<−1 недопустимо. t=(−1+√17)/4, x=±arccos t+2πk.
13. Левая часть тождественно 1, следовательно решений нет.
14. (2sin x−1)²=0, sin x=1/2. x=π/6+2πk либо 5π/6+2πk.

Проверка преобразований разными методами

В задаче 1 возможны два независимых подхода: факторизация 2t²−3t+1=(2t−1)(t−1) и формула квадратного уравнения с дискриминантом D=9−8=1. Оба дают t=1/2 и t=1. Однако значения x из них восстанавливаются по разным схемам: sin x=1/2 имеет две ветви, а sin x=1 — только одну. Это объясняет, почему три ответа на одном обороте не являются арифметической ошибкой.

Задачи 3 и 4 похожи формой, но не взаимозаменяемы. В № 3 t=cos x равен 1/2 или 1: появляются x=±π/3+2πk и x=2πk. В № 4 знаки коэффициентов изменились: теперь t=−1/2 или −1. Получаем углы II–III четвертей и точку x=π+2πk. Привычка автоматически ставить знак плюс перед arccos не позволяет получить полное решение.

В № 9 выражение 2cos²x+sin²x удобно переписать как cos²x+(cos²x+sin²x)=1+cos²x. Равенство единице означает cos²x=0. Если ученик напишет cos x=1, это противоречит подстановке: при x=0 левая часть равна 2. Простая обратная проверка сразу выявляет такую ошибку.

В задачах 11–12 квадратный корень √17 не является поводом к десятичному округлению. Достаточно знать, что 4<√17<5. Тогда (1+√17)/4>1, а (−1−√17)/4<−1. Недопустимые значения t отбрасываются до восстановления x. Для оставшегося t можно сохранить точный ответ через arcsin или arccos: это математически точнее случайной десятичной оценки угла.

Почему одно подставленное значение не заменяет общего решения

В № 7 sin²x=cos²x. Значение x=π/4 действительно подходит, но ещё подходят 3π/4, 5π/4 и 7π/4. Запись x=π/4+πk/2 охватывает всю совокупность. В № 11 и № 12 сначала находят оба корня квадратного уравнения, а затем отбрасывают значения за пределами [−1;1]; это не посторонние корни после подстановки, а недопустимые значения самой тригонометрической функции.

Проверьте собственную гипотезу: умножение тождества на cos x может создавать лишнее решение, если затем не выполнить обратную проверку; деление на cos x может потерять корни. В приведённой серии мы используем только равносильную замену 1−sin²x=cos²x, поэтому специальных исключений cos x≠0 не возникает. Ответ каждого пункта можно проверить прямой подстановкой в первоначальное уравнение.