Восстановление общего решения с тангенсом и периодичностью — мини-практикум с ответами, 10 класс

Математика, 10 класс · MATH-1727.

Учебная цель: восстанавливать полное множество решений тангенс-уравнений после линейной замены аргумента, не теряя период и ОДЗ.

Памятка: период возвращает все корни

Для tg t = a основные корни записывают как t = arctg a + πk, где k — любое целое число. Например, tg(2x)=1 означает 2x=π/4+πk, а не 2x=π/4+2πk; после деления на 2 получаем x=π/8+πk/2. У тангенса период π. Все углы в этом листе измеряются в радианах.

ОДЗ тоже необходимо: tg t определён только при cos t ≠ 0. Записанные ниже решения получены из допустимых значений тангенса, поэтому в исходном уравнении знаменатель sin t/cos t не обращается в ноль. Приводить одну точку вместо общего семейства — неполный ответ.

Вариант А · восстановите семейство решений

Решите задания 1–9. В каждой строке явно укажите коэффициент при k и подставьте основной корень обратно в уравнение. Для двух последних пунктов варианта начните с раскрытия скобок в аргументе, не с замены периода.

1. tg x = 1
2. tg x = −1
3. tg x = 0
4. tg(2x) = 1
5. tg(3x) = 0
6. tg(x−π/6) = 1/√3
7. tg(x+π/3) = −1/√3
8. tg(2x−π/4) = 0
9. tg(3x+π/4) = 1

Вариант Б · исправьте частую потерю периода

В заданиях 10–18 запишите полную совокупность значений x. Для контроля попробуйте увеличить k на единицу и посмотрите, изменяется ли значение тангенса. При аргументе 3x шаг решений должен составить π/3, а при 4x — π/4.

10. tg(2x) = −1
11. tg(x+π/6) = √3
12. tg(4x) = 0
13. tg(2x+π/6) = 1/√3
14. tg(3x−π/6) = −1
15. tg(x−π/3) = 0
16. tg(2x−π/3) = √3
17. tg(3x+π/6) = 0
18. tg(4x−π/2) = 1

Подробный ключ для преподавателя

1. x = π/4 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
2. x = −π/4 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
3. x = 0 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
4. x = π/8 + πk/2, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
5. x = 0 + πk/3, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
6. x = π/3 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
7. x = −π/2 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
8. x = π/8 + πk/2, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
9. x = 0 + πk/3, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
10. x = −π/8 + πk/2, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
11. x = π/6 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
12. x = 0 + πk/4, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
13. x = 0 + πk/2, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
14. x = −π/36 + πk/3, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
15. x = π/3 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
16. x = π/3 + πk/2, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
17. x = −π/18 + πk/3, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.
18. x = 3π/16 + πk/4, k ∈ ℤ. Проверка: подстановка аргумента даёт требуемый табличный тангенс; прибавка k изменяет аргумент на целое число π.

Разбор двух наиболее тонких пунктов

В № 14: 3x−π/6=−π/4+πk. Значит 3x=−π/12+πk и x=−π/36+πk/3. Замена периода на 2π ошибочно потеряла бы половину решений. В № 18: 4x−π/2=π/4+πk, откуда 4x=3π/4+πk и x=3π/16+πk/4. Проверка x=3π/16: 4x−π/2=π/4, поэтому tg равен 1.

Критерии: за каждый пункт один балл за верную исходную формулу и один за правильное деление периода. Ошибка типа «+2πk» вместо «+πk» уравнение с тангенсом не решает полностью. Варианты можно печатать отдельно, ответы оставлены в конце листа.