Восстановление параметра по экстремуму для рациональной функции с разрывом: самостоятельная работа, 11 класс

Математика · 11 класс. Рабочий лист для печати: два варианта, 16 заданий и ключ с проверкой полюсов.

Памятка для двух вариантов: полюс не является критической точкой

Рассматривается семейство f(x)=(x−c)+a/(x−c)+b при x≠c. Число c известно из формулы, b задаёт вертикальный сдвиг, а положительный параметр a определяет расстояние от полюса до стационарных точек. Здесь термин «экстремум» относится к локальному максимуму или минимуму в точке области определения, где функция определена в некоторой окрестности. В самой точке x=c значения функции нет — поэтому вертикальная асимптота не может быть точкой экстремума.

Производная: f′(x)=1−a/(x−c)². Уравнение f′(x)=0 равносильно (x−c)²=a. Если a>0, это две допустимые точки x=c−√a и x=c+√a. Слева от разрыва получается локальный максимум со значением b−2√a, справа — локальный минимум со значением b+2√a. При a=0 рациональное выражение сокращается до линейного на области x≠c, но не создаёт экстремума; при a<0 производная всюду положительна, стационарных точек нет.

Для локального максимума в заданной точке x₀

Вариант I — известна абсцисса экстремума

Задания 1–8. В каждом случае выполните три действия: восстановите a из равенства производной нулю; подставьте параметр обратно и проверьте значение функции; назовите разрыв, который нельзя включать в ответ. При вычислении помните, что квадрат разности не зависит от знака, а тип экстремума зависит от положения точки относительно полюса.

1. Функция f(x)=(x−(-3)) + a/(x−(-3)) + (5) имеет локальный максимум в точке x=-5. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
2. Функция f(x)=(x−(1)) + a/(x−(1)) + (-2) имеет локальный минимум в точке x=4. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
3. Функция f(x)=(x−(4)) + a/(x−(4)) + (0) имеет локальный максимум в точке x=3. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
4. Функция f(x)=(x−(-1)) + a/(x−(-1)) + (3) имеет локальный минимум в точке x=3. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
5. Функция f(x)=(x−(2)) + a/(x−(2)) + (-4) имеет локальный минимум в точке x=7. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
6. Функция f(x)=(x−(0)) + a/(x−(0)) + (7) имеет локальный максимум в точке x=-2. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
7. Функция f(x)=(x−(-4)) + a/(x−(-4)) + (1) имеет локальный минимум в точке x=-1. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.
8. Функция f(x)=(x−(5)) + a/(x−(5)) + (-3) имеет локальный максимум в точке x=3. Определите параметр a, значение функции в этой точке и проверьте, что точка не совпадает с разрывом.

Вариант II — известно экстремальное значение

Задания 9–16. Здесь значение функции в стационарной точке превращается в уравнение на √a. Не заменяйте отрицательную ветвь максимума положительной ветвью минимума. Сначала определите нужный знак, затем вычислите a и абсциссу.

9. Для f(x)=(x−(0)) + a/(x−(0)) + (3) известно, что локальный минимум имеет значение 7. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=0.
10. Для f(x)=(x−(2)) + a/(x−(2)) + (0) известно, что локальный максимум имеет значение -8. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=2.
11. Для f(x)=(x−(-2)) + a/(x−(-2)) + (5) известно, что локальный минимум имеет значение 7. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=-2.
12. Для f(x)=(x−(3)) + a/(x−(3)) + (-4) известно, что локальный максимум имеет значение -10. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=3.
13. Для f(x)=(x−(-5)) + a/(x−(-5)) + (1) известно, что локальный максимум имеет значение -3. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=-5.
14. Для f(x)=(x−(4)) + a/(x−(4)) + (-1) известно, что локальный минимум имеет значение 9. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=4.
15. Для f(x)=(x−(-1)) + a/(x−(-1)) + (2) известно, что локальный максимум имеет значение -6. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=-1.
16. Для f(x)=(x−(1)) + a/(x−(1)) + (6) известно, что локальный минимум имеет значение 12. Восстановите a и абсциссу экстремума; укажите, что происходит при x=1.

Подробный ключ для учителя

Вариант I: ответы 1–8

1. Производная f′(x)=1−a/(x−(-3))². Из f′(-5)=0 получаем a=(-5−(-3))²=4. Тогда f(-5)=1. При x=-3 функция не определена; -5≠-3. Вторая производная 2a/(x−(-3))³ имеет знак минус, поэтому это максимум.
2. Производная f′(x)=1−a/(x−(1))². Из f′(4)=0 получаем a=(4−(1))²=9. Тогда f(4)=4. При x=1 функция не определена; 4≠1. Вторая производная 2a/(x−(1))³ имеет знак плюс, поэтому это минимум.
3. Производная f′(x)=1−a/(x−(4))². Из f′(3)=0 получаем a=(3−(4))²=1. Тогда f(3)=-2. При x=4 функция не определена; 3≠4. Вторая производная 2a/(x−(4))³ имеет знак минус, поэтому это максимум.
4. Производная f′(x)=1−a/(x−(-1))². Из f′(3)=0 получаем a=(3−(-1))²=16. Тогда f(3)=11. При x=-1 функция не определена; 3≠-1. Вторая производная 2a/(x−(-1))³ имеет знак плюс, поэтому это минимум.
5. Производная f′(x)=1−a/(x−(2))². Из f′(7)=0 получаем a=(7−(2))²=25. Тогда f(7)=6. При x=2 функция не определена; 7≠2. Вторая производная 2a/(x−(2))³ имеет знак плюс, поэтому это минимум.
6. Производная f′(x)=1−a/(x−(0))². Из f′(-2)=0 получаем a=(-2−(0))²=4. Тогда f(-2)=3. При x=0 функция не определена; -2≠0. Вторая производная 2a/(x−(0))³ имеет знак минус, поэтому это максимум.
7. Производная f′(x)=1−a/(x−(-4))². Из f′(-1)=0 получаем a=(-1−(-4))²=9. Тогда f(-1)=7. При x=-4 функция не определена; -1≠-4. Вторая производная 2a/(x−(-4))³ имеет знак плюс, поэтому это минимум.
8. Производная f′(x)=1−a/(x−(5))². Из f′(3)=0 получаем a=(3−(5))²=4. Тогда f(3)=-7. При x=5 функция не определена; 3≠5. Вторая производная 2a/(x−(5))³ имеет знак минус, поэтому это максимум.

Вариант II: ответы 9–16

9. При a>0 локальный минимум имеет значение b + 2√a. Значит √a=2, a=4, абсцисса x=2. В x=0 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
10. При a>0 локальный максимум имеет значение b − 2√a. Значит √a=4, a=16, абсцисса x=-2. В x=2 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
11. При a>0 локальный минимум имеет значение b + 2√a. Значит √a=1, a=1, абсцисса x=-1. В x=-2 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
12. При a>0 локальный максимум имеет значение b − 2√a. Значит √a=3, a=9, абсцисса x=0. В x=3 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
13. При a>0 локальный максимум имеет значение b − 2√a. Значит √a=2, a=4, абсцисса x=-7. В x=-5 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
14. При a>0 локальный минимум имеет значение b + 2√a. Значит √a=5, a=25, абсцисса x=9. В x=4 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
15. При a>0 локальный максимум имеет значение b − 2√a. Значит √a=4, a=16, абсцисса x=-5. В x=-1 полюс: это не экстремум и не точка области определения.
16. При a>0 локальный минимум имеет значение b + 2√a. Значит √a=3, a=9, абсцисса x=4. В x=1 полюс: это не экстремум и не точка области определения.

Как распознать подмену понятия

Важно различать «точка экстремума» и «значение экстремума»: x₀ — это аргумент, f(x₀) — значение функции. В таблице ответов оба результата указаны отдельно. При x→c− в приведённом семействе с a>0 функция стремится к −∞; при x→c+ — к +∞. Следовательно, даже если найдены два локальных экстремума, это не означает существования на всей области определения глобального максимума или минимума.

Ещё одна диагностическая проверка: подставьте в производную x=c−√a и x=c+√a, получив ноль. Для точки слева знак производной меняется с плюса на минус; справа — с минуса на плюс. Если ученик вместо этой проверки подставляет запрещённое x=c, ответ неверен даже при правильном вычислении a. Для печати лист удобно разделить по заголовкам вариантов; ключ предназначен для проверки после выполнения.