Восстановление параметра уравнения по нормальному вектору: задания с разбором, 11 класс

Практическая цель: восстанавливать недостающий коэффициент уравнения плоскости по нормальному вектору, не смешивая нормаль с направляющим вектором самой плоскости.

Для плоскости Ax + By + Cz + D = 0 нормаль — ненулевой вектор n = (A; B; C). Если известна нормаль n₀, то (A; B; C) = λn₀ с λ ≠ 0. Свободный член D задаёт положение плоскости и не входит в нормаль. Ориентация нормали может быть противоположной: λ разрешается быть отрицательным.

Вариант А. Прямая пропорция компонент

1. Нормаль (2; 3; −1), а уравнение плоскости имеет вид 4x + ky − 2z + 5 = 0. Найдите k.
2. Нормаль (−1; 4; 2), а уравнение 3x + ky − 6z − 7 = 0. Найдите k.
3. Нормаль (5; 0; −2), уравнение 10x + ky − 4z + 1 = 0. Найдите k.
4. Нормаль (3; −2; 1), уравнение kx + 6y − 3z = 0. Найдите k.
5. Нормаль (1; −3; 2), уравнение 5x − 15y + kz = 9. Найдите k.
6. Нормаль (0; 2; −5), уравнение kx + 6y − 15z + 8 = 0. Найдите k.
7. Нормаль (2; −1; 4), уравнение 6x + ky + 12z = 4. Найдите k.
8. Нормаль (−2; 3; 1), уравнение 8x − 12y + kz = 1. Найдите k.

Вариант Б. Проверка совместности, точка на плоскости, особыe случаи

1. Нормаль (1; 2; −2), плоскость 3x + 6y − 6z + D = 0 проходит через P(1; −1; 2). Найдите D.
2. Нормаль (2; 1; 3), плоскость kx + 4y + 12z − 8 = 0. Найдите k.
3. Нормаль (−1; 2; 0), плоскость 2x − 4y + kz + 6 = 0. Найдите k.
4. Возможно ли подобрать k, чтобы нормаль плоскости 2x + 3y + kz = 1 была параллельна (4; 5; 6)?
5. Плоскость kx + 0y + 0z = 0 имеет нормаль, параллельную (1; 0; 0). Какие k допустимы?
6. Нормаль (3; 2; −1), плоскость 9x + 6y + kz + D = 0 проходит через Q(0; 1; 3). Найдите k и D.
7. Нормаль (1; −2; 4), плоскость kx − 10y + 20z + 2 = 0. Найдите k и проверьте коэффициент при z.
8. Нормаль (2; 0; 3), плоскость 6x + ky + 9z + 4 = 0. Найдите k; будет ли плоскость проходить через начало координат?

Сверка вариантов перед выставлением оценки

Сначала найдите множитель λ по компоненте нормали, которая точно не равна нулю. Затем проверьте две оставшиеся компоненты. Нельзя выбирать два разных значения λ: это означало бы, что векторы не пропорциональны, а нужного коэффициента не существует. Если компонент нормали равен нулю, соответствующий коэффициент уравнения также обязан быть нулевым. Иначе даже при правильных остальных числах нормали будут различного направления.

Особенно внимательно стоит рассматривать свободный член D. Из данных о направлении нормали он не восстанавливается: любое изменение D при неизменных A, B, C сдвигает плоскость параллельно самой себе. Для нахождения D требуется ещё хотя бы одна подходящая точка. Если точка задана, проверка будет корректной только после восстановления всех трёх коэффициентов при координатах.

Пример без единственного ответа: у плоскости kx = 4 нормаль (k; 0; 0), которая при любом k ≠ 0 параллельна (1; 0; 0). Нормаль не позволяет найти конкретное k, даже если все подходящие варианты описывают плоскости, параллельные друг другу. Отдельная ошибка — принять случай k = 0; тогда равенство 0 = 4 вообще не задаёт плоскость.

Проверка партнёра: что нужно обосновать

Вариант А проверяют отношением ненулевых компонент: должно существовать одно число λ для всей тройки. В варианте Б требуется дополнительно учитывать точку, отсутствие решения или множество допустимых параметров. Пропорциональные нормали задают параллельные плоскости, но не обязательно одну и ту же: для совпадения нужна пропорциональность ещё и свободных членов.

Ключ к варианту А

1. k = 6. Нормаль (4; k; −2) равна 2(2; 3; −1).
2. k = −12. Множитель λ = −3, поэтому k = −3·4.
3. k = 0. Вторая компонента нормали должна быть нулевой.
4. k = −9. По z λ = −3; по x коэффициент равен −9.
5. k = 10. λ = 5 и третья компонента нормали 5·2.
6. k = 0. Первая компонента нормали исходной плоскости равна нулю.
7. k = −3. По x и z λ = 3; вторая компонента −3.
8. k = −4. По x λ = −4, поэтому по z −4.

Ключ к варианту Б

1. D = 15. 3 − 6 − 12 + D = 0.
2. k = 8. λ = 4 из y и z; первая компонента 8.
3. k = 0. λ = −2; нулевая z-компонента обязательна.
4. Нет. Отношения 2/4 и 3/5 различны. Одним k нельзя исправить первые две компоненты.
5. Любое k ≠ 0. При k = 0 вектор нормали нулевой, плоскость не определена.
6. k = −3, D = 3. λ = 3; затем 6 − 9 + D = 0.
7. k = 5. λ = 5; ожидаемая z-компонента 20 совпадает.
8. k = 0; нет. Нормаль втрое больше заданной. При O(0; 0; 0) левая часть равна 4.