Восстановление параметра уравнения по пересечению с координатными осями — рабочий лист для 11 класса

Стартовое спорное утверждение: «У всякой плоскости есть ровно три точки пересечения с координатными осями, поэтому любой пропущенный коэффициент легко найти по трём отрезкам». Это неверно: плоскость может быть параллельна оси, содержать ось целиком или проходить через начало координат.

Что действительно можно вывести из пересечения с осями

Для плоскости Ax + By + Cz = D при A ≠ 0 пересечение с Ox находится в точке (D/A; 0; 0); аналогично для Oy и Oz. Если D ≠ 0 и A, B, C ≠ 0, три ненулевых отрезка a = D/A, b = D/B, c = D/C дают запись x/a + y/b + z/c = 1. Она не применима без оговорок, если какой-либо отрезок равен нулю или его вообще нельзя определить как единственную точку.

Почему формула работает: при пересечении с Ox обе остальные координаты равны нулю, и A·a = D. Разделив Ax + By + Cz = D на ненулевое D, получаем (A/D)x + (B/D)y + (C/D)z = 1, то есть коэффициенты равны обратным отрезкам.

Задачи на обоснование, не только вычисление

1. Плоскость kx + 3y + 2z = 12 пересекает Ox в точке (4; 0; 0). Найдите k.
2. Плоскость 2x + ky + 5z = 20 отсекает на Oy отрезок −4. Найдите k.
3. Плоскость 3x − 2y + kz = 18 пересекает Oz в (0; 0; −6). Найдите k.
4. Плоскость проходит через (3; 0; 0), (0; 6; 0), (0; 0; −2). Составьте уравнение без дробей.
5. Известны отрезки на осях: a = −4, b = 2, c = 8. Запишите уравнение плоскости без дробей.
6. Плоскость 4x + ky − 3z = 24 имеет отрезок b = 8 на Oy. Найдите k и отрезок c на Oz.
7. Плоскость 5x + 0y + 2z = 10. Сколько точек пересечения с осью Oy?
8. Плоскость 2x − 3y = 0. Что происходит с осью Oz?
9. Плоскость kx + 4y + z = 12 пересекает Ox в (−6; 0; 0). Найдите k и определите знак x-отрезка.
10. Плоскость 2x + 3y + kz = 0 проходит через начало координат. Можно ли по одному только этому факту восстановить k?
11. Три ненулевых отрезка равны (2; −3; 6). Должна ли точка (1; 0; 3) лежать на полученной плоскости?
12. Плоскость 2x + ky + 3z = 18 проходит через (0; 9; 0) и (3; 0; 4). Найдите k и объясните, нет ли противоречия.
13. Уравнение x/5 + y/5 + z/5 = 1. Может ли та же плоскость быть записана 2x + 2y + 2z = 10?
14. Плоскость kx + 2y + z = 0 содержит ось Ox. Найдите k.

Почему метод пересечений требует проверки области применимости

Исследуем один и тот же тип условий в трёх случаях. Если A = 2, D = 10, то на оси Ox равенство 2x = 10 имеет одно решение x = 5. Если A = 0, D = 10, то оно превращается в 0 = 10 и пересечения с осью Ox нет. Наконец, если A = 0 и D = 0, уравнение на Ox превращается в 0 = 0, поэтому плоскость содержит все точки этой оси. Так возникают три принципиально разных ответа: единственная точка, пустое множество и целая прямая.

Особый случай возникает, когда D = 0, но A, B и C все ненулевые. Плоскость проходит через начало координат и пересекает каждую координатную ось в этой точке. Можно сказать, что координаты пересечения равны нулю, однако запись x/a + y/b + z/c = 1 здесь недопустима: она требует деления на нуль. Следовательно, знание трёх одинаковых нулевых координат пересечения не определяет все коэффициенты плоскости.

Доказательство единственности при ненулевых отрезках

Пусть три координаты пересечения равны a, b, c, причём abc ≠ 0. Плоскость с уравнением Ax + By + Cz = D проходит через точки (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c). Подстановка даёт Aa = Bb = Cc = D. Если D также ненулевое, то A/D = 1/a, B/D = 1/b, C/D = 1/c. Деление исходного уравнения на D приводит к единой записи x/a + y/b + z/c = 1. Тем самым данные пересечения определяют плоскость, хотя сами коэффициенты её уравнения можно одновременно умножить на любое ненулевое число.

Что делать со знаком параметра

Пусть плоскость пересекает Oz ниже начала координат. Это означает отрицательную z-координату точки, а не «отрицательную длину» физического отрезка. Если в уравнении 3x + 2y − kz = 12 задана точка (0; 0; −4), подстановка даёт 4k = 12, следовательно k = 3. Проверка состоит в том, что 3·0 + 2·0 − 3·(−4) = 12. Замена −4 на 4 без изменения уравнения разрушила бы исходное условие.

Самопроверка доказательств

Хорошее решение содержит не только ответ k, но и объяснение, почему он единственный. Для этого укажите, какое именно равенство составлено из точки пересечения, и проверьте, что при k стоит ненулевой числовой множитель. Если получается противоречие, не следует придумывать произвольный k. Если равенство верно при любом k, нужно отдельно проверить, что коэффициенты при x, y, z не стали одновременно нулевыми.

Ключ с математическими основаниями

1. k = 3. 4k = 12.
2. k = −5. (0; −4; 0) удовлетворяет −4k = 20.
3. k = −3. −6k = 18.
4. 2x + y − 3z = 6. x/3 + y/6 − z/2 = 1; умножаем на 6.
5. −2x + 4y + z = 8. Делим координаты на отрезки и умножаем на 8.
6. k = 3, c = −8. 8k = 24, а −3c = 24.
7. Ни одной. При x = z = 0 получается 0 = 10 — несовместное равенство.
8. Вся ось Oz лежит в плоскости. При x = y = 0 равенство выполняется при любом z.
9. k = −2, отрезок отрицателен. −6k = 12.
10. Нет. При O(0; 0; 0) равенство 0 = 0 для любого k; нормаль при этом ненулевая из-за коэффициентов 2 и 3.
11. Да. 1/2 + 0/(−3) + 3/6 = 1.
12. k = 2; противоречия нет. Первая точка даёт 9k = 18, вторая: 2·3 + 3·4 = 18.
13. Да. Обе записи эквивалентны x + y + z = 5.
14. k = 0. Для всех (x; 0; 0) должно быть kx = 0, то есть k = 0; ненулевая нормаль (0; 2; 1) остаётся.

Итог доказательства. Знание точки пересечения оси с плоскостью даёт одно уравнение для параметра. Но доказательство единственности требует ненулевого коэффициента при неизвестном. В случае 0·k = 0 параметр не определяется; в случае 0·k = a, a ≠ 0, такого параметра нет. Нельзя называть бесконечное множество точек оси единственным пересечением.

Для контроля: если плоскость записана в отрезках, достаточно подставить три точки на осях и убедиться, что каждая удовлетворяет равенству. Однако это проверяет только заданные точки; для полного сравнения двух уравнений надо проверить пропорциональность всех четырёх коэффициентов A, B, C, D.