Восстановление параметра уравнения по уравнению плоскости в координатах — тренажёр для 11 класса

11 класс · пространственная аналитика. Главная цель — восстановить конкретный числовой коэффициент из геометрического условия и проверить, что полученное уравнение действительно задаёт плоскость. Все тройки координат записаны в порядке (x; y; z).

Метод за одну минуту

Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, причём (A; B; C) не равен нулевому вектору. Если точка M(u; v; w) лежит на плоскости, то Au + Bv + Cw + D = 0. Подставлять нужно все три координаты, включая отрицательные. Для неизвестного коэффициента получается обычное линейное уравнение.

Если плоскость параллельна прямой с направляющим вектором s = (u; v; w), то Au + Bv + Cw = 0. Для параллельных плоскостей нормали пропорциональны, а для перпендикулярных — их скалярное произведение равно нулю. Нулевая нормаль недопустима даже тогда, когда подстановка формально даёт 0 = 0.

Уровень 1. Одна точка — один неизвестный коэффициент

1. Плоскость kx +3y −z −4 = 0 проходит через M(2; 1; 3). Найдите k.
2. Плоскость −3x + ky +4z −1 = 0 проходит через M(1; -2; 2). Найдите k.
3. Плоскость x −2y + kz +3 = 0 проходит через M(-2; 3; 1). Найдите k.
4. Плоскость 2x +y +3z + k = 0 проходит через M(4; -2; -1). Найдите k.
5. Плоскость kx +y +2z −12 = 0 проходит через M(-1; 2; 3). Найдите k.
6. Плоскость x + ky −2z −10 = 0 проходит через M(2; 2; -1). Найдите k.
7. Плоскость 3x +2y + kz +11 = 0 проходит через M(-3; 1; 4). Найдите k.
8. Плоскость −2x +4y +3z + k = 0 проходит через M(1; 3; -2). Найдите k.
9. Плоскость kx −3y +2z −15 = 0 проходит через M(2; -1; 1). Найдите k.
10. Плоскость −x + ky −4z −15 = 0 проходит через M(1; 2; -3). Найдите k.

Уровень 2. Дополнительное геометрическое условие

1. Плоскость 2x + 3y − z + k = 0 содержит две точки P(2; 1; 3) и Q(5; -1; 3). Найдите k и проверьте обе точки.
2. Плоскость −3x + 2y + 4z + k = 0 содержит две точки P(1; -2; 2) и Q(3; 1; 2). Найдите k и проверьте обе точки.
3. Плоскость x − 2y + 5z + k = 0 содержит две точки P(-2; 3; 1) и Q(-4; 2; 1). Найдите k и проверьте обе точки.
4. Плоскость 2x + y + 3z + k = 0 содержит две точки P(4; -2; -1) и Q(5; -4; -1). Найдите k и проверьте обе точки.
5. Плоскость −4x + y + 2z + k = 0 содержит две точки P(-1; 2; 3) и Q(0; 6; 3). Найдите k и проверьте обе точки.
6. Плоскость x + 3y − 2z + k = 0 содержит две точки P(2; 2; -1) и Q(5; 1; -1). Найдите k и проверьте обе точки.
7. Плоскости kx + (4)y + (6)z = 7 и x + 2y + 3z + 2 = 0 параллельны. Найдите k.
8. Плоскости kx + (6)y + (−9)z = 7 и x − 2y + 3z + 2 = 0 параллельны. Найдите k.
9. Плоскости kx + (−10)y + (15)z = 7 и −x + 2y − 3z + 2 = 0 параллельны. Найдите k.
10. Плоскости kx + (0)y + (−8)z = 7 и x − 2z + 2 = 0 параллельны. Найдите k.

Уровень 3. Линия параллельна плоскости: восстанавливаем нормаль

1. Плоскость kx −3y +z + D = 0 проходит через P(1; 0; 2) и параллельна направлению s=(1; 1; 1). Восстановите k и D.
2. Плоскость kx +2y +3z + D = 0 проходит через P(0; 1; 1) и параллельна направлению s=(2; 1; 2). Восстановите k и D.
3. Плоскость kx −y −2z + D = 0 проходит через P(2; 0; 1) и параллельна направлению s=(1; 1; 1). Восстановите k и D.
4. Плоскость kx +2y −3z + D = 0 проходит через P(-1; 1; 2) и параллельна направлению s=(1; 1; 1). Восстановите k и D.
5. Плоскость kx +4y +z + D = 0 проходит через P(0; 0; 3) и параллельна направлению s=(2; 1; 0). Восстановите k и D.
6. Плоскость kx −5y +2z + D = 0 проходит через P(2; -2; 0) и параллельна направлению s=(1; 1; 0). Восстановите k и D.

Ответы и разбор для преподавателя

Сверьте сначала численный коэффициент, затем геометрическое обоснование. В задачах с двумя точками необходимо проверить обе подстановки: одна удачная подстановка ещё не доказывает совместность условий. В задачах с направлением проверка состоит в нулевом скалярном произведении.

Ключ: уровень 1

1. k = 2. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 2 при k. После замены k на 2 получаем 2x + 3y − z − 4 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
2. k = 2. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем −2 при k. После замены k на 2 получаем −3x + 2y + 4z − 1 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
3. k = 5. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 1 при k. После замены k на 5 получаем x − 2y + 5z + 3 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
4. k = −3. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 1 при k. После замены k на −3 получаем 2x + y + 3z − 3 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
5. k = −4. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем −1 при k. После замены k на −4 получаем −4x + y + 2z − 12 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
6. k = 3. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 2 при k. После замены k на 3 получаем x + 3y − 2z − 10 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
7. k = −1. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 4 при k. После замены k на −1 получаем 3x + 2y − z + 11 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
8. k = −4. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 1 при k. После замены k на −4 получаем −2x + 4y + 3z − 4 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
9. k = 5. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 2 при k. После замены k на 5 получаем 5x − 3y + 2z − 15 = 0; точка удовлетворяет уравнению.
10. k = 2. Подстановка координат даёт линейное уравнение с множителем 2 при k. После замены k на 2 получаем −x + 2y − 4z − 15 = 0; точка удовлетворяет уравнению.

Ключ: уровень 2

1. k = −4. Из P: k = −(2·2 + 3·1 + −1·3) = −4. Из Q получается то же значение, значит оба условия согласованы.
2. k = −1. Из P: k = −(−3·1 + 2·−2 + 4·2) = −1. Из Q получается то же значение, значит оба условия согласованы.
3. k = 3. Из P: k = −(1·−2 + −2·3 + 5·1) = 3. Из Q получается то же значение, значит оба условия согласованы.
4. k = −3. Из P: k = −(2·4 + 1·−2 + 3·−1) = −3. Из Q получается то же значение, значит оба условия согласованы.
5. k = −12. Из P: k = −(−4·−1 + 1·2 + 2·3) = −12. Из Q получается то же значение, значит оба условия согласованы.
6. k = −10. Из P: k = −(1·2 + 3·2 + −2·−1) = −10. Из Q получается то же значение, значит оба условия согласованы.
7. k = 2. Коэффициенты при y и z задают множитель пропорциональности нормалей; коэффициент при x должен быть 2. Свободные члены не влияют на направление нормали.
8. k = −3. Коэффициенты при y и z задают множитель пропорциональности нормалей; коэффициент при x должен быть −3. Свободные члены не влияют на направление нормали.
9. k = 5. Коэффициенты при y и z задают множитель пропорциональности нормалей; коэффициент при x должен быть 5. Свободные члены не влияют на направление нормали.
10. k = 4. Коэффициенты при y и z задают множитель пропорциональности нормалей; коэффициент при x должен быть 4. Свободные члены не влияют на направление нормали.

Ключ: уровень 3

1. k = 2, D = −4. Из перпендикулярности нормали (k; −3; 1) направлению s получаем 1k + −2 = 0. Затем подставляем P: D = −4. Нормаль ненулевая.
2. k = −4, D = −5. Из перпендикулярности нормали (k; 2; 3) направлению s получаем 2k + 8 = 0. Затем подставляем P: D = −5. Нормаль ненулевая.
3. k = 3, D = −4. Из перпендикулярности нормали (k; −1; −2) направлению s получаем 1k + −3 = 0. Затем подставляем P: D = −4. Нормаль ненулевая.
4. k = 1, D = 5. Из перпендикулярности нормали (k; 2; −3) направлению s получаем 1k + −1 = 0. Затем подставляем P: D = 5. Нормаль ненулевая.
5. k = −2, D = −3. Из перпендикулярности нормали (k; 4; 1) направлению s получаем 2k + 4 = 0. Затем подставляем P: D = −3. Нормаль ненулевая.
6. k = 5, D = −20. Из перпендикулярности нормали (k; −5; 2) направлению s получаем 1k + −5 = 0. Затем подставляем P: D = −20. Нормаль ненулевая.

Типичные ловушки. Нельзя делить на координату точки, равную нулю, не убедившись, что параметр действительно определяется однозначно. Если уравнение превращается в 0 = 0, может быть бесконечно много параметров; если в 0 = 5, решений нет. При требовании параллельности нельзя путать нормаль плоскости с направлением прямой.