Восстановление первого члена для убывающих положительных членов: задачи с решениями для 9 класса

Ошибка в найденном первом члене: что пошло не так?

Если геометрическая прогрессия состоит из положительных убывающих членов, то a₁>0 и 0<q<1. При известном aₖ справедливо a₁=aₖ/q⁽ᵏ⁻¹⁾. Деление на положительную степень дроби меньше единицы увеличивает результат, поэтому первый член обязан быть больше aₖ при k>1. Проверку выполняют умножением найденного a₁ на q⁽ᵏ⁻¹⁾.

Разобранный пример: четвёртый член равен 3, знаменатель q=1/2. Первый равен 3/(1/2)³=24, а не 3·(1/2)³=3/8. Восстановленные члены 24,12,6,3: последовательность действительно убывает. Сумма первых четырёх равна 45. Когда дан поздний член, восстановление сначала идёт назад, а не вперёд.

Диагностика пяти типичных ошибок

1. Ученик при a₃=8, q=1/2 вычислил a₁=8·(1/2)²=2. Исправьте.
2. При a₄=2, q=1/2 ученик делил на q⁴ и получил a₁=32. Где лишняя степень?
3. При a₃=12, q=2/3 ученик взял a₁=12/(2/3)=18. Исправьте показатель и ответ.
4. Для положительной убывающей прогрессии ученик выбрал q=−1/2. Почему это противоречит требованию положительности всех членов?
5. Ученик подставил q=0 при положительном a₄=7 и нашёл a₁=7/0. Почему условие несовместимо с геометрической прогрессией?

Новые задания для закрепления

6. № 6. В положительной убывающей прогрессии a₄=3, q=1/2. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
7. № 7. В положительной убывающей прогрессии a₃=12, q=2/3. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
8. № 8. В положительной убывающей прогрессии a₅=4, q=1/2. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
9. № 9. В положительной убывающей прогрессии a₄=3, q=1/3. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
10. № 10. В положительной убывающей прогрессии a₃=27, q=3/4. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
11. № 11. В положительной убывающей прогрессии a₄=15, q=1/2. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
12. № 12. В положительной убывающей прогрессии a₅=32/3, q=2/3. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?

Повышенный уровень: дроби и более далёкий член

Здесь данные иногда выражены дробями. Их нельзя заменять десятичными приближениями до получения a₁; иначе обратная проверка может дать несовпадение из-за округления. Сумму S₄ удобно рассчитывать после восстановления первого члена.

13. № 13. В положительной убывающей прогрессии a₃=5, q=1/5. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
14. № 14. В положительной убывающей прогрессии a₃=6, q=1/4. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
15. № 15. В положительной убывающей прогрессии a₄=243/16, q=3/4. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
16. № 16. В положительной убывающей прогрессии a₄=64/3, q=2/3. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
17. № 17. В положительной убывающей прогрессии a₅=75/8, q=1/2. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
18. № 18. В положительной убывающей прогрессии a₃=12, q=1/3. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
19. № 19. В положительной убывающей прогрессии a₅=405/16, q=3/4. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?
20. № 20. В положительной убывающей прогрессии a₃=36, q=1/2. Найдите a₁, восстановите первые четыре члена и их сумму S₄. Какая обратная подстановка подтверждает результат?

Ответы на диагностику

1. Верно a₁=8/(1/2)²=32. Проверка: 32·(1/2)²=8. Члены 32,16,8.
2. Нужна степень k−1=3, поэтому a₁=2/(1/2)³=16; 16·(1/2)³=2.
3. Верно a₁=12/(2/3)²=12·9/4=27; 27·4/9=12.
4. При q<0 знаки последовательных ненулевых членов чередуются; все члены не могут оставаться положительными. Требуется 0<q<1.
5. Если q=0, то a₂=a₃=a₄=0 для любого положительного a₁. Условие a₄=7 невозможно; кроме того, делить на ноль нельзя.

Подробный ключ к 15 заданиям

6. 6. a₁=(3)/(1/2)³=24. Первые четыре члена: 24, 12, 6, 3; S₄=45. Проверка: 24·(1/2)³=3; a₁>a₄.
7. 7. a₁=(12)/(2/3)²=27. Первые четыре члена: 27, 18, 12, 8; S₄=65. Проверка: 27·(2/3)²=12; a₁>a₃.
8. 8. a₁=(4)/(1/2)⁴=64. Первые четыре члена: 64, 32, 16, 8; S₄=120. Проверка: 64·(1/2)⁴=4; a₁>a₅.
9. 9. a₁=(3)/(1/3)³=81. Первые четыре члена: 81, 27, 9, 3; S₄=120. Проверка: 81·(1/3)³=3; a₁>a₄.
10. 10. a₁=(27)/(3/4)²=48. Первые четыре члена: 48, 36, 27, 81/4; S₄=525/4. Проверка: 48·(3/4)²=27; a₁>a₃.
11. 11. a₁=(15)/(1/2)³=120. Первые четыре члена: 120, 60, 30, 15; S₄=225. Проверка: 120·(1/2)³=15; a₁>a₄.
12. 12. a₁=(32/3)/(2/3)⁴=54. Первые четыре члена: 54, 36, 24, 16; S₄=130. Проверка: 54·(2/3)⁴=32/3; a₁>a₅.
13. 13. a₁=(5)/(1/5)²=125. Первые четыре члена: 125, 25, 5, 1; S₄=156. Проверка: 125·(1/5)²=5; a₁>a₃.
14. 14. a₁=(6)/(1/4)²=96. Первые четыре члена: 96, 24, 6, 3/2; S₄=255/2. Проверка: 96·(1/4)²=6; a₁>a₃.
15. 15. a₁=(243/16)/(3/4)³=36. Первые четыре члена: 36, 27, 81/4, 243/16; S₄=1575/16. Проверка: 36·(3/4)³=243/16; a₁>a₄.
16. 16. a₁=(64/3)/(2/3)³=72. Первые четыре члена: 72, 48, 32, 64/3; S₄=520/3. Проверка: 72·(2/3)³=64/3; a₁>a₄.
17. 17. a₁=(75/8)/(1/2)⁴=150. Первые четыре члена: 150, 75, 75/2, 75/4; S₄=1125/4. Проверка: 150·(1/2)⁴=75/8; a₁>a₅.
18. 18. a₁=(12)/(1/3)²=108. Первые четыре члена: 108, 36, 12, 4; S₄=160. Проверка: 108·(1/3)²=12; a₁>a₃.
19. 19. a₁=(405/16)/(3/4)⁴=80. Первые четыре члена: 80, 60, 45, 135/4; S₄=875/4. Проверка: 80·(3/4)⁴=405/16; a₁>a₅.
20. 20. a₁=(36)/(1/2)²=144. Первые четыре члена: 144, 72, 36, 18; S₄=270. Проверка: 144·(1/2)²=36; a₁>a₃.

Заключительная проверка на понимание

1. Положительная убывающая прогрессия имеет a₄=5 и q=1/2. Обязательно ли a₁>5? Назовите число.
2. Ученик сообщает a₅=9 и q=3/2 для «убывающей положительной» прогрессии. Можно ли принять его ответ?
3. Почему формула a₁=aₖ/q⁽ᵏ⁻¹⁾ при k=1 даёт a₁=a₁ независимо от q?

Решения заключительных вопросов

1. Да: a₁=5/(1/2)³=40. Поскольку q<1, переход назад увеличивает члены.
2. Нет. При q=3/2>1 члены растут; арифметически a₁=9/(3/2)⁴=16/9, но условие убывания нарушено.
3. Потому что q⁰=1 для любого ненулевого q. Номер первого члена не требует шага назад.

Если ответ формально найден, но a₁ не положителен или q не принадлежит промежутку (0;1), это не решение исходной задачи. Обязательно отмечайте ограничение перед вычислением и проверяйте оба условия после него.