Восстановление первого члена по трём несоседним членам — самостоятельная работа, 9 класс

Исследование: почему три несоседних члена дают проверку на ошибку

Пусть геометрическая прогрессия имеет положительный первый член и положительный знаменатель. Даны три члена с одинаковым шагом индексов: например, a₂,a₅,a₈ или a₃,a₅,a₇. Их индексы не соседние. Должно быть средний член в квадрате равен произведению крайних. Равенство необходимо; при положительных числах и равных шагах по индексам оно позволяет восстановить q и a₁.

Для индексов 2,5,8: q³=a₅/a₂, далее a₁=a₂/q. Для индексов 3,5,7: q²=a₅/a₃, далее a₁=a₃/q². Корень выбирается положительный согласно условию. Если равенство a₅²=a₂a₈ (или a₅²=a₃a₇) нарушено, последовательность данных не является одной геометрической прогрессией и первый член по всем трём числам восстановить невозможно.

Наблюдение и контрпример

Если a₂=12, a₅=96, a₈=768, то 96²=12·768; q³=96/12=8, q=2; a₁=12/2=6. Обратная проверка: 6·2⁴=96 и 6·2⁷=768. Если вместо последнего числа написано 769, первые два по-прежнему дают q=2, но третье не совпадает. Исправление задания на глаз недопустимо: надо указать противоречие.

Вариант A: цепочка из 2-го, 5-го и 8-го членов

1. № 1. Известны a₂=12, a₅=96, a₈=768. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
2. № 2. Известны a₃=36, a₅=144, a₇=576. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
3. № 3. Известны a₂=128, a₅=16, a₈=2. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
4. № 4. Известны a₃=36, a₅=324, a₇=2916. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
5. № 5. Известны a₂=6, a₅=162, a₈=4374. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
6. № 6. Известны a₃=128, a₅=32, a₇=8. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.

Вариант Б: то же исследование с другим шагом

7. № 7. Известны a₂=22, a₅=176, a₈=1408. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
8. № 8. Известны a₃=24, a₅=96, a₇=384. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
9. № 9. Известны a₂=192, a₅=24, a₈=3. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
10. № 10. Известны a₃=27, a₅=243, a₇=2187. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
11. № 11. Известны a₂=18, a₅=144, a₈=1152. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.
12. № 12. Известны a₃=192, a₅=48, a₇=12. Проверьте совместимость тройки, найдите q и восстановите a₁ для положительной геометрической прогрессии. Выполните обратную проверку крайнего члена.

Дополнительные задачи: найдите испорченный источник

13. № 13. Известны a₂=12, a₅=96, a₈=769. Может ли это быть одна положительная геометрическая прогрессия? Если нет, найдите правильное значение крайнего члена при сохранении первых двух.
14. № 14. Известны a₃=18, a₅=72, a₇=287. Может ли это быть одна положительная геометрическая прогрессия? Если нет, найдите правильное значение крайнего члена при сохранении первых двух.
15. № 15. Известны a₂=10, a₅=80, a₈=600. Может ли это быть одна положительная геометрическая прогрессия? Если нет, найдите правильное значение крайнего члена при сохранении первых двух.

Ответы с доказательством и проверкой

1. 1. Проверка: (96)²=9216 и 12·768=9216. Шаг индексов 3; q³=96/12=8, положительное q=2. a₁=12/(2)¹=6; a₁q⁷=768.
2. 2. Проверка: (144)²=20736 и 36·576=20736. Шаг индексов 2; q²=144/36=4, положительное q=2. a₁=36/(2)²=9; a₁q⁶=576.
3. 3. Проверка: (16)²=256 и 128·2=256. Шаг индексов 3; q³=16/128=1/8, положительное q=1/2. a₁=128/(1/2)¹=256; a₁q⁷=2.
4. 4. Проверка: (324)²=104976 и 36·2916=104976. Шаг индексов 2; q²=324/36=9, положительное q=3. a₁=36/(3)²=4; a₁q⁶=2916.
5. 5. Проверка: (162)²=26244 и 6·4374=26244. Шаг индексов 3; q³=162/6=27, положительное q=3. a₁=6/(3)¹=2; a₁q⁷=4374.
6. 6. Проверка: (32)²=1024 и 128·8=1024. Шаг индексов 2; q²=32/128=1/4, положительное q=1/2. a₁=128/(1/2)²=512; a₁q⁶=8.
7. 7. Проверка: (176)²=30976 и 22·1408=30976. Шаг индексов 3; q³=176/22=8, положительное q=2. a₁=22/(2)¹=11; a₁q⁷=1408.
8. 8. Проверка: (96)²=9216 и 24·384=9216. Шаг индексов 2; q²=96/24=4, положительное q=2. a₁=24/(2)²=6; a₁q⁶=384.
9. 9. Проверка: (24)²=576 и 192·3=576. Шаг индексов 3; q³=24/192=1/8, положительное q=1/2. a₁=192/(1/2)¹=384; a₁q⁷=3.
10. 10. Проверка: (243)²=59049 и 27·2187=59049. Шаг индексов 2; q²=243/27=9, положительное q=3. a₁=27/(3)²=3; a₁q⁶=2187.
11. 11. Проверка: (144)²=20736 и 18·1152=20736. Шаг индексов 3; q³=144/18=8, положительное q=2. a₁=18/(2)¹=9; a₁q⁷=1152.
12. 12. Проверка: (48)²=2304 и 192·12=2304. Шаг индексов 2; q²=48/192=1/4, положительное q=1/2. a₁=192/(1/2)²=768; a₁q⁶=12.
13. 13. Нет: 96²=9216, а 12·769=9228. Для одной прогрессии потребовалось бы a₈=768, поскольку a₅²=a₂·a₈. Данное число 769 нарушает условие; для исходных трёх чисел решения нет.
14. 14. Нет: 72²=5184, а 18·287=5166. Для одной прогрессии потребовалось бы a₇=288, поскольку a₅²=a₃·a₇. Данное число 287 нарушает условие; для исходных трёх чисел решения нет.
15. 15. Нет: 80²=6400, а 10·600=6000. Для одной прогрессии потребовалось бы a₈=640, поскольку a₅²=a₂·a₈. Данное число 600 нарушает условие; для исходных трёх чисел решения нет.

Когда правило требует осторожности

Для a₃,a₅,a₇ отношения позволяют определить q². Без предположения q>0 два знака знаменателя дают одинаковые члены на нечётных позициях. Например, a₃=4, a₅=16, a₇=64 совместимы и с q=2, и с q=−2; в обоих случаях a₁=1, но члены на чётных позициях отличаются знаками. Поэтому в этом рабочем листе условие положительности знаменателя не декоративное — оно исключает неоднозначность. Для a₂,a₅,a₈ знак q определяется кубическим отношением, но для единообразия здесь тоже берём q>0.

После восстановления обязательно найдите все три заданных члена по формуле aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Проверка только двух чисел — недостаточная: третье как раз может обнаружить несовместимость данных.