Восстановление первого члена при условии на произведение членов — математический практикум для 9 класса

9 класс · Геометрическая прогрессия · доказательство и практикум. Здесь нужно восстановить первый член b₁ по произведению двух членов, а не вычислить сумму прогрессии. Сначала попробуйте опровергнуть утверждение, затем обоснуйте способ алгебраически.

Спорное утверждение: «Если известны знаменатель прогрессии q и произведение b₂·b₄, первый член всегда определяется однозначно». Верно ли это даже при известном ненулевом q?

Почему возникают два ответа

По определению bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Следовательно, при q ≠ 0 имеем bᵢ·bⱼ = b₁²·q^i+j−2. Обозначив заданное произведение через P, находим b₁² = P / q^i+j−2. В действительных числах правая часть должна быть неотрицательной. При положительном результате обычно получаются два ответа: b₁ = ±√(P/q^i+j−2). Условие «первый член положителен» оставляет только положительный ответ.

Знак самого произведения не задаёт знак первого члена: ведь в формуле стоит b₁². Если q отрицательно, знак P зависит от чётности показателя i+j−2. При q=0 члены начиная со второго равны нулю, поэтому их произведение вообще не сообщает о первом члене. При ненулевом q и P=0 обязательно b₁=0.

Задания: докажите, вычислите, проверьте

• 1. q = 2, b₂·b₄ = 576. Найдите все действительные значения b₁.
• 2. q = 3, b₁·b₃ = 324, и b₁ > 0. Найдите b₁.
• 3. q = −2, b₂·b₃ = −72. Объясните знак произведения и восстановите b₁.
• 4. q = 1/2, b₃·b₅ = 9/4, b₁ < 0. Найдите первый член.
• 5. q = −3, b₂·b₄ = 2025. Можно ли установить знак b₁?
• 6. q = 4, b₁·b₂ = 16. Найдите первый член и проверьте ответ.
• 7. q = −1, b₄·b₅ = −49. Найдите b₁, если b₁ < 0.
• 8. q = 1, b₁·b₆ = 81. Покажите, почему данных недостаточно для единственного ответа.
• 9. q = 0, b₃·b₄ = 0. Какие первые члены возможны?
• 10. q = 3/2, b₂·b₄ = 81/4, b₁ > 0. Найдите b₁.
• 11. q = −1/2, b₁·b₂ = −25/2. Сколько действительных решений?
• 12. q = 2, b₃·b₅ = 1024, b₁ < 0. Найдите b₁.
• 13. q = −3, b₁·b₄ = −2187, b₁ < 0. Докажите результат.
• 14. q = 2, b₂·b₅ = −64. Существует ли действительная прогрессия?

Проверка решения и обоснование

Для каждого пункта сначала найдите показатель i+j−2, затем вычислите квадрат первого члена и только после этого применяйте сведения о знаке. Не записывайте один положительный корень, если условие не исключает отрицательный.

• 1. b₁² = 576/2⁴ = 36, поэтому b₁ = −6 или 6. Проверка: b₂=12, b₄=48 при b₁=6; произведение 576. При b₁=−6 оба сомножителя меняют знак.
• 2. b₁²=324/3²=36; знак указан, b₁=6.
• 3. b₁²=(−72)/(−2)³=9. b₁=±3. Степень q³ отрицательная; например, при b₁=3 члены b₂=−6, b₃=12.
• 4. q⁶=1/64; b₁²=(9/4)·64=144, значит b₁=−12. Проверка: b₃=−3, b₅=−3/4.
• 5. b₁²=2025/81=25; b₁=±5. Знак первого члена не установлен.
• 6. b₁²=16/4=4; b₁=±2. Для 2 получаем 2·8=16, для −2 получаем (−2)·(−8)=16.
• 7. Показатель 3+4=7, q⁷=−1, b₁²=49; b₁=−7.
• 8. Все члены равны b₁, поэтому b₁²=81 и b₁=±9. Дополнительный знак устранит неоднозначность.
• 9. Любое действительное b₁: начиная с b₂ все члены нулевые. Деление на степень q здесь запрещено.
• 10. q⁴=81/16; b₁²=(81/4)/(81/16)=4, b₁=2.
• 11. b₁²=(−25/2)/(−1/2)=25. Два: −5 и 5.
• 12. Показатель 2+4=6. b₁²=1024/64=16; b₁=−4.
• 13. q³=−27, b₁²=(−2187)/(−27)=81, b₁=−9. Проверка: b₄=(−9)(−27)=243 и −9·243=−2187.
• 14. q⁵=32>0, а b₁²=−64/32=−2. Решений нет в действительных числах.

Итог: что именно было опровергнуто

Контрпример к тезису в начале — задание 1: при одном q и одном произведении существуют два разных первых члена. В задании 9 нет даже конечного списка ответов; в задании 14 невозможен ни один действительный ответ. Уникальное восстановление требует дополнительных условий, например известного знака b₁ при положительном b₁².

Доказательство: почему произведение не показывает знак первого члена

Рассмотрим две последовательности с одинаковым ненулевым знаменателем q: одну с первым членом A и вторую с первым членом −A. Для любого номера n их члены различаются знаком: A·qⁿ⁻¹ и −A·qⁿ⁻¹. При перемножении двух членов каждый минус появляется дважды и исчезает: (−A·qⁱ⁻¹)(−A·qʲ⁻¹)=A²qⁱ⁺ʲ⁻². Значит, измерить одно произведение двух членов недостаточно, чтобы отличить эти последовательности. Это утверждение справедливо для любого q, в том числе отрицательного; при q=0 добавляются ещё более сильные трудности.

Указание «все члены положительны» нельзя принимать автоматически: при отрицательном знаменателе знаки чередуются. Даже если заданное произведение положительно, каждый сомножитель может быть отрицательным. В четвёртой задаче это видно на отрицательных дробных значениях: два отрицательных члена дают положительное произведение. Поэтому сначала отделите вычисление модуля начального числа от выбора его знака.

Особые случаи, которые часто пропускают

Последняя строка — полезный контрпример к неосторожной фразе «при q=0 ничего узнать нельзя». Если задано именно b₁·b₁, информация о модуле сохраняется. Однако по произведению b₂·b₄ при q=0 нельзя найти даже модуль начального значения. Таким образом, значение имеет не только знаменатель прогрессии, но и номера членов, участвующих в условии.

Два подробных образца с обратной проверкой

Образец A — дробный знаменатель. Пусть q=1/2, произведение b₃·b₅=9/4, причём b₁ отрицателен. Не следует путать показатель степени с произведением индексов: (3−1)+(5−1)=6. Поэтому b₃·b₅=b₁²·(1/2)⁶=b₁²/64. Отсюда b₁²=144 и два алгебраических кандидата ±12. Знак из условия оставляет b₁=−12. Проверим непосредственно: b₃=−12/4=−3, b₅=−12/16=−3/4, а (−3)(−3/4)=9/4. Все три условия выполнены.

Образец B — отрицательный знаменатель. Пусть q=−3, b₁·b₄=−2187 и b₁<0. Между первым и четвёртым членом три перехода, поэтому b₄=b₁(−3)³=−27b₁. Произведение равно −27b₁², следовательно, b₁²=81. Отрицательное значение первого члена равно −9. Четвёртый член положителен, потому что (−9)(−27)=243. Обратная проверка −9·243=−2187 снимает сомнения в знаках. Если бы условие о b₁<0 отсутствовало, вариант b₁=9 тоже подошёл бы.

Как оценивать доказательный ответ

Полным считается решение с четырьмя элементами: формула общего члена, правильная степень знаменателя, обоснование числа и знаков возможных решений, обратная подстановка в исходное произведение. Для пунктов 8, 9 и 14 недостаточно одной строки «неизвестно» или «нет»: надо объяснить, какие значения действительно удовлетворяют условиям и почему другие исключены. В пунктах с дробями упрощайте выражения точно, без округления, иначе легко потерять совпадение при проверке.

При самостоятельном составлении похожей задачи можно начать с удобного первого члена, например −8, взять любой ненулевой знаменатель и выбрать два номера. Перемножьте рассчитанные члены и отдайте ученику только произведение и знаменатель. Затем проверьте, является ли задуманный ответ единственным: без дополнительного ограничения на знак, как правило, нет. Это короткое упражнение помогает отличить восстановление по данным от угадывания первоначального значения.