Восстановление подкоренного выражения для соседних полных квадратов — проверочная работа по математике, 8 класс

Углублённый практикум · 8 класс · Квадратные корни

В каждой задаче требуется восстановить число под знаком корня. Известно, между какими соседними целыми числами находится квадратный корень, а также дан дополнительный признак искомого числа. Все задания рассчитаны на действительные арифметические квадратные корни, то есть на неотрицательные значения.

Опорный приём: сначала границы, потом отбор

Если n < √A < n + 1, где n — целое неотрицательное число, то n² < A < (n + 1)². При целочисленном A проверяются значения от n² + 1 до (n + 1)² − 1. Граничные квадраты исключаются: при A = n² корень равен n, а не больше n. Для нестрогих неравенств оба квадрата, наоборот, разрешены.

Например, 8 < √A < 9 означает 64 < A < 81. Если дополнительно A кратно 6, то подойдут 66, 72 и 78. Восстановление может давать несколько ответов: перечислите их все, а не выбирайте ближайший квадрат.

Уровень I — установите возможные значения A (1–9)

1. 4 < √A < 5; A — целое. Найдите наименьшее A.
2. 9 < √A < 10; A — целое. Найдите наибольшее A.
3. 12 < √A < 13; A кратно 7. Перечислите A.
4. 6 < √A < 7; A нечётное и делится на 5.
5. 15 < √A < 16; A имеет цифру единиц 3.
6. 10 < √A < 11; A — чётное и кратно 9.
7. 3 ≤ √A < 4; A — целое и нечётное.
8. 5 < √A ≤ 6; A — целое и кратно 4.
9. 18 < √A < 19; A заканчивается на 0.

Что проверяем: одинаковый знак строгого или нестрогого неравенства сохраняется после возведения в квадрат, потому что обе стороны неотрицательны. В пунктах 7–8 особенно внимательно проследите за границами.

Уровень II — от одного условия к системе (10–18)

10. 11 < √A < 12, а сумма цифр A равна 7. Перечислите все целые A.
11. 13 < √A < 14, A кратно 8 и A > 180.
12. 7 < √A < 8; A = 3t + 2 и t — целое. Найдите все пары (t, A).
13. 16 < √A < 17; число A делится одновременно на 3 и на 5.
14. 8 < √A < 9; A = 4t − 1, t — целое. Найдите все t.
15. 14 < √A < 15; A — целое, делится на 6, но не на 4.
16. 5 < √A < 6; среди целых A найдите те, которые при делении на 4 дают остаток 1.
17. 17 < √A < 18; A — трёхзначное, его цифра десятков равна 1.
18. 20 < √A < 21; A — целое, кратное 11.

Уровень III — подкоренное выражение задано формулой (19–27)

19. 6 < √(2x + 5) < 7, x — целое. Найдите все x и соответствующие подкоренные числа.
20. 9 < √(5x − 4) < 10, x — натуральное.
21. 8 ≤ √(3x + 1) < 9, x — целое.
22. 12 < √(x² + 9) < 13, x — целое неотрицательное.
23. 10 < √(4x + 9) ≤ 11, x — целое.
24. 14 < √(7x − 2) < 15, x — целое.
25. 11 < √(x + 20) < 12; дополнительно x кратно 9.
26. 5 < √(2x² − 1) < 6, x — натуральное.
27. 18 < √(6x + 7) < 19, x — целое, а A заканчивается цифрой 5.

Полные разборы заданий с несколькими шагами

№ 12. Восстановление числа и параметра одновременно

Исходное условие: 7 < √A < 8, A = 3t + 2. Сначала возводим границы в квадрат: 49 < 3t + 2 < 64. Вычитаем 2: 47 < 3t < 62. Делим на положительное число 3: 47/3 < t < 62/3, то есть 15⅔ < t < 20⅔. Для целого t возможны 16–20. Подстановка даёт A = 50, 53, 56, 59, 62. Каждое действительно строго между 49 и 64.

№ 19. Почему нельзя округлять границы x

Из 36 < 2x + 5 < 49 получаем 31 < 2x < 44, затем 15,5 < x < 22. Поскольку x целое, его значения — 16, 17, 18, 19, 20, 21. Значение 22 не подходит: A = 49 и √A = 7, тогда как требуется строго меньше 7. Две последовательности в ответе связаны формулой A = 2x + 5; они должны иметь одинаковое число элементов.

№ 22. Когда под корнем есть квадрат неизвестного

Для x ≥ 0 из 12 < √(x² + 9) < 13 выводим 135 < x² < 160. Ближайшие квадраты целых: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169. Только 144 лежит строго внутри. Следовательно, x = 12, A = x² + 9 = 153. Если снять условие x ≥ 0, добавился бы x = −12, но подкоренное выражение осталось бы 153.

№ 27. Условие о последней цифре

Граница 18² = 324, 19² = 361. Система 324 < 6x + 7 < 361 равносильна 317 < 6x < 354. Поэтому x ∈ {53, 54, 55, 56, 57, 58}. Подкоренные значения идут с шагом 6, от 325 до 355. Последняя цифра 5 получается при x = 53 и 58. Нельзя оставить x = 59: A = 361 уже является правым полным квадратом.

Ещё три развёрнутых решения из самостоятельной части

№ 10. Признак по сумме цифр

Неравенство 11 < √A < 12 превращается в 121 < A < 144. Поэтому проверять все трёхзначные числа не нужно: достаточно от 122 до 143. В сотнях всегда стоит 1. Чтобы сумма цифр была равна 7, две оставшиеся цифры должны давать 6. В допустимом диапазоне этому условию отвечают 124 (2 + 4 = 6), 133 (3 + 3 = 6) и 142 (4 + 2 = 6). Числа 115 и 151 тоже имеют сумму цифр 7, но не попадают в найденный интервал. У каждого найденного числа корень действительно строго между 11 и 12.

№ 14. Точная граница при линейном подкоренном выражении

Имеем 8 < √(4t − 1) < 9. Возводим обе стороны и среднюю часть в квадрат: 64 < 4t − 1 < 81. Добавляем единицу, получаем 65 < 4t < 82. Разделим на 4: 16,25 < t < 20,5. Значит, целые t равны 17, 18, 19, 20. Для контроля можно подставить крайние значения: при t = 17 под корнем будет 67; при t = 20 — 79. Оба числа больше 64 и меньше 81. Значения t = 16 и 21 недопустимы: соответствующие подкоренные числа 63 и 83 лежат вне интервала.

№ 23. Почему 121 допустимо, а 100 — нет

Дано 10 < √(4x + 9) ≤ 11. Квадраты границ: 100 < 4x + 9 ≤ 121. После вычитания девяти получаем 91 < 4x ≤ 112; деление на четыре приводит к 22,75 < x ≤ 28. Целые x — от 23 до 28. При x = 28 число A = 121, и √A = 11: равенство разрешено знаком «≤». При x = 23 число A = 101: корень строго больше 10. Это удобный способ заметить ошибку, если кто-то по привычке исключил обе граничные точки.

В смешанных заданиях всегда выписывайте четыре коротких этапа: исходный интервал для корня, интервал для подкоренного выражения, диапазон допустимых целых параметров, окончательный список восстановленных чисел A. Такой порядок позволяет доказать полноту ответа, даже когда значений много.

Ключ для самостоятельной проверки

Для самопроверки любой найденный A должен удовлетворять двум требованиям: его квадратный корень лежит в заданном промежутке, а само число соответствует признаку задачи. Если ответов несколько, обоснуйте, почему других целых чисел нет.