Восстановление подкоренного выражения при отрицательном множителе вне корня: упражнения разной сложности, 8 класс

Два контрастных варианта · 8 класс · Квадратные корни

Работа посвящена ровно одному действию: восстановить выражение под корнем, если перед квадратным корнем стоит отрицательный множитель. На первом листе множитель нужно внести под знак корня, на втором — восстановить исходный множитель или недостающий подкоренной множитель. Знак «минус» сохраняется снаружи.

При k > 0 и a ≥ 0 справедливо −k√a = −√(k²a). Это следует из √(k²a) = k√a. Без отрицательного знака снаружи результат был бы неравен исходному выражению: например, −3√5 = −√45, но не +√45.

Вариант А — внесите отрицательный множитель под корень

В ответе должна остаться форма −√N. Никаких десятичных приближений не требуется; отрицательный знак нельзя «спрятать» в подкоренное выражение, потому что квадратный корень отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел.

Разберите один необычный пример

Задание 7: −½√48 = −√((½)² · 48) = −√(48/4) = −√12. Проверьте численно через точную форму: √48 = 4√3, поэтому −½√48 = −2√3; с другой стороны, −√12 = −2√3. Оба способа дают одно и то же отрицательное число.

Вариант Б — восстановите недостающее подкоренное число

В каждом равенстве −√N = −k√a известны N и k. Найдите a ≥ 0. Можно воспользоваться обратной формулой a = N/k². В этом варианте N не обязательно является полным квадратом, а потому проверять нужно не только внешнее сходство записи.

Взаимная проверка: что должно совпадать?

Поменяйтесь вариантами и проверьте ответы обратным действием. Для варианта А вынесите квадратный множитель из найденного корня: если в № 6 записано −√98, получим −√(49 · 2) = −7√2. Для варианта Б подставьте найденное a: в № 10 равенство −√75 = −5√3 выполняется, поскольку (−5√3)² = 75 и обе части неположительны.

Второй проверяющий должен поставить рядом с каждым ответом один из двух символов: «✓» — совпадают величина и знак, «?» — нужно ещё раз проверить коэффициент или подкоренное число. Проверяйте равенство чисел, а не только совпадение их квадратов: числа −u и +u при u ≠ 0 имеют одинаковые квадраты, но разные значения.

Ключ ко всем 18 упражнениям

Проверяющему полезно специально сопоставить задания 8 и 9. В восьмом −(3/2)√16 = −(3/2)·4 = −6, и потому итоговая форма −√36 действительно равна −6. В девятом −⅔√27 = −⅔·3√3 = −2√3, следовательно, восстановленный радиканд равен 12. Нельзя спутать коэффициенты 3/2 и 2/3: они приводят к совершенно разным операциям над подкоренным множителем. Если корень или коэффициент заданы дробью, удобнее сначала возвести в квадрат числитель и знаменатель множителя раздельно.

Три ошибки, которые хорошо видны в ответах

• Потеря отрицательного знака: при переносе −5√7 под корень ответ +√175 неверен; значение исходного выражения отрицательно, а квадратный корень неотрицателен.
• Перенос множителя без квадрата: −4√2 превращается в −√32, поскольку 4² · 2 = 32, а не в −√8.
• Невнимательность с дробью: в № 9 множитель ⅔ возводится в квадрат целиком, поэтому (4/9) · 27 = 12, а не 18.

Итоговый критерий: выражение под корнем неотрицательно; перед корнем остался «минус»; множитель возведён в квадрат; после обратного преобразования получилось исходное выражение.