Восстановление последней цифры числа для делителей 2 и 5 одновременно: тренажёр для 5 класса

Табличный тренажёр · 5 класс. Вы будете восстанавливать только последнюю цифру целого числа так, чтобы одновременно выполнялись два условия: делимость на 2 и на 5. Материал можно распечатать: таблица заменяет длинные устные подсказки, а ответы вынесены вниз.

Опорная таблица для выбора цифры

По этой таблице видно, что одновременно делиться на 2 и 5 может только число, заканчивающееся нулём. Это эквивалентно делимости на 10. Цифра 5 здесь — частая ловушка: для делимости на 5 она подходит, но чётной не является.

Как проверить заполненную таблицу без перебора

Полезно разделить последнюю цифру на два независимых вопроса: «чётная ли она?» и «равна ли она 0 или 5?». Пересечение ответов «да» даёт только цифру 0: пятёрка нечётная, а 2, 4, 6 и 8 не входят в окончания кратных 5. Так таблица позволяет доказать, что решений для одновременной делимости больше одного быть не может. Если перед квадратом стоит несколько тысяч или сотен, вывод не меняется: на делимость по 2 и 5 влияет только самая правая цифра.

Есть и наглядная арифметическая проверка. Всякое натуральное число с концом 0 — это некоторое количество десятков, например 4670 = 467 · 10. А десять равно 2 · 5, значит, такое число кратно обоим делителям. Напротив, 4675 делится на 5, но не на 2, поскольку остаётся нечётным. У 4676 ситуация обратная: оно чётно, но на 5 не делится. Эти проверки объясняют, почему условия «кратно 2 и 5» и «кратно только одному из них» нельзя смешивать.

Чтение таблицы: задания 1–5

1. Дополните число 72□, чтобы оно делилось сразу на 2 и на 5. Почему ответ только один?
2. В числе 319□ поставьте цифру так, чтобы получилось число, кратное 5, но не кратное 2.
3. Найдите все цифры для записи 824□, при которых число делится на 2 и не делится на 5.
4. Запишите все допустимые цифры в 65□, если число не должно делиться ни на 2, ни на 5.
5. Из 820, 825, 826, 829 выберите по одному представителю каждой строки таблицы. Запишите его категорию.

Вычисления и восстановление: задания 6–12

В этих заданиях важно не только выбрать цифру, но и выполнить проверку делением либо представить готовое число как произведение.

6. Восстановите число 900□, которое делится на 2 и на 5. Запишите его в виде 10 · k.
7. Найдите последнюю цифру в 47□, если известно, что число делится на 5, но при делении на 2 остаётся остаток 1.
8. Для 30□ одновременно требуется делимость на 2, на 5 и на 10. Сколько разных цифр подходит?
9. Число 12□ делится на 2 и на 5. Найдите его и частное от деления на 10.
10. Какие цифры в 12□ обеспечивают делимость только на 2 из рассматриваемой пары? Напишите все соответствующие числа.
11. Какая цифра в 4□ сделает двузначное число кратным 10? Сколько десятков в результате?
12. Можно ли подобрать первую цифру в записи □5 так, чтобы двузначное число делилось на 2? Объясните, почему изменять десятки бесполезно.

Поиск противоречий: задания 13–17

13. Ученик решил, что 12□ делится на 2 и 5 при □ = 5. Определите нарушенное условие и исправьте цифру.
14. Другой ученик выбрал □ = 0 для 65□ и подписал «не делится ни на 2, ни на 5». Найдите противоречие.
15. Верно ли: «Любое число, делящееся на 2 и на 5, заканчивается нулём; однако не каждое число на ноль делится на 10»? Какую часть фразы нужно исправить?
16. Назовите четыре различные последние цифры, при которых число 503□ делится на 2, но не на 5.
17. В записи 2□ найдите цифру, при которой число делится на 2 и 5. Сравните с записью 2□, делящейся на 5, но не на 2.

Ответы и проверка

Проверка здравым смыслом. Для одновременной делимости на 2 и 5 необязательно делить большое число дважды. Достаточно увидеть ноль в конце. Но если по условию делимость на 2 должна быть, а на 5 — не должна, последний ноль уже запрещён. Не смешивайте эти два типа задач.