Восстановление последней цифры числа для делителей 3 и 9 одновременно — упражнения разной сложности, 5 класс

Карточка повышенной внимательности · 5 класс. В каждой записи квадрат □ заменяет ровно одну последнюю цифру от 0 до 9. Цель — восстановить все возможные окончания по делимости на 3 и 9, а затем проверить результат обратным способом. Здесь важно различать формулировки «на оба», «на 3, но не на 9» и «на 3 без дополнительных ограничений».

Сначала решаем в прямую сторону, потом — в обратную

Базовый образец: восстановите последнюю цифру 24□, если число делится одновременно на 3 и 9. Сумма известных цифр 2 + 4 = 6. Чтобы полная сумма стала кратной 9, нужно 6 + □ = 9, значит, □ = 3. Получаем 243: 2 + 4 + 3 = 9, а 243 = 9 · 27. Обратная проверка сделана.

Если условие изменить на «делится на 3, но не на 9», подходящих цифр будет больше: 0, 6, 9. Суммы 6, 12 и 15 кратны 3, но не 9. Цифра 3, наоборот, не подходит, хотя делает число делящимся на 3: она одновременно даёт кратность 9. Так мы проверяем не только что подходит, но и что должно быть исключено.

Почему перебор цифр даёт полный ответ

Последняя цифра не может быть меньше 0 или больше 9. Значит, если известные цифры имеют сумму S, возможная сумма нового числа лежит от S до S + 9. В этом промежутке можно перечислить все кратные 3, а для 9 — все кратные 9. Для пункта 2 известная сумма равна 9; в диапазоне от 9 до 18 есть два кратных 9 — 9 и 18. Это соответствует цифрам 0 и 9. Поэтому одно решение было бы неполным, даже если само число делится на оба делителя.

Если по условию требуется «на 3, но не на 9», действуйте в два прохода: сначала найдите весь список цифр, делающих сумму кратной 3; затем исключите цифры, при которых сумма кратна 9. Так, при S = 10 возможны суммы от 10 до 19. Кратные 3 здесь 12, 15, 18, а кратное 9 среди них — 18. Значит, подходят две цифры: 2 и 5. Проверка каждой готовой записи подтверждает, что ни одно из двух требований не было забыто.

Слова «делится одновременно на 3 и на 9» вовсе не означают, что сначала нужно провести два деления столбиком. Поскольку 9 = 3 · 3, достаточно проверить кратность 9: она уже влечёт кратность 3. Однако при условии «делится на 3, но не на 9» одна проверка девятки ничего не решает: придётся убедиться как в положительной, так и в отрицательной части запроса. Обратная проверка не просто украшает ответ, а позволяет обнаружить лишние варианты.

Ступень А. Одновременно на 3 и на 9

Для пунктов 1–5 найдите все допустимые последние цифры. Пишите рядом сумму цифр готового числа; это короткое доказательство.

1. Восстановите 52□, чтобы выполнялись оба условия. Может ли подходящих окончаний быть два?
2. В записи 63□ найдите все варианты. Объясните, почему здесь решений больше одного.
3. Для 17□ выберите последнюю цифру, обеспечивающую кратность 9.
4. В записи 408□ восстановите окончание. Чему будет равна сумма цифр?
5. Восстановите 90□. Проверьте отдельно случай, когда последняя цифра равна 0.

Ступень Б. Делится на 3, но на 9 не делится

В пунктах 6–10 недостаточно написать список кратных 3: из него обязательно нужно убрать те, которые также кратны 9. Это и есть новая сложность.

6. В 75□ найдите все окончания, при которых число кратно 3, но не 9.
7. Для 811□ выпишите цифры, удовлетворяющие только первому из двух признаков.
8. Укажите все подходящие окончания 215□. Для каждого назовите полученную сумму.
9. Для 670□ найдите последнюю цифру (или цифры), чтобы делимость на 3 выполнялась, а делимость на 9 — нет.
10. В записи 115□ решите ту же задачу, но сперва составьте список кратных 3, а потом вычеркните неподходящее.

Ступень В. Изменённое условие и полная проверка

11. У числа 999□ найдите окончания для одновременной делимости на 3 и 9. Затем найдите отдельно окончания «только на 3». Почему нельзя ограничиться проверкой 9990?
12. Для 304□ перечислите сначала все цифры, дающие кратность 3, а потом выделите цифру, дающую ещё и кратность 9.
13. Для 14□ требуется делимость на 3 без делимости на 9. Запишите все получающиеся трёхзначные числа, а не только цифры.
14. Для двузначного числа 3□ найдите цифру одновременной делимости на 3 и 9. Затем найдите все цифры для делимости на 3 без дополнительных условий.
15. Восстановите 102□ сначала для делимости на 9, а потом для делимости на 3. Сравните множества ответов и объясните вложение.

Проверочные вычисления: готовые ответы

1. □ = 2: 522, сумма 9, 522 = 9 · 58. Единственный ответ, поскольку 7 + □ может принимать значения только от 7 до 16, а среди них лишь 9 кратно 9.

2. □ = 0 или 9: 630 (сумма 9) и 639 (сумма 18). Оба делятся на 9. Начальная сумма 9, поэтому добавление 0 или 9 оставляет её кратной 9.

3. □ = 1: 171; 1 + 7 + 1 = 9; 171 = 9 · 19.

4. □ = 6: 4086, сумма 18; 4086 = 9 · 454.

5. □ = 0 или 9: 900 и 909, суммы 9 и 18; 900 = 9 · 100, 909 = 9 · 101. Нулевое окончание разрешено.

6. □ = 0, 3, 9: 750, 753, 759 имеют суммы 12, 15, 21. Не подходит цифра 6: 756 имеет сумму 18, то есть кратно 9.

7. □ = 2, 5: 8112 и 8115, суммы 12 и 15. Цифра 8 дала бы сумму 18 и нарушила запрет на кратность 9.

8. □ = 4, 7: 2154 (сумма 12), 2157 (сумма 15). Цифра 1 дала бы сумму 9 — делится на оба делителя, поэтому не подходит.

9. □ = 2, 8: 6702 (сумма 15), 6708 (сумма 21). Цифра 5 дала бы сумму 18 — она исключается.

10. Все цифры для делимости на 3: 2, 5, 8. Из них вычёркиваем 2, потому что сумма 7 + 2 = 9. Ответ: 5, 8 — числа 1155 и 1158, суммы 12 и 15.

11. На оба: 0, 9 → 9990 и 9999, суммы 27 и 36. Только на 3: 3, 6 → 9993 и 9996, суммы 30 и 33. Проверка одной цифры не гарантирует, что найдены все решения.

12. Для 3 подходят 2, 5, 8 (суммы 9, 12, 15). Для 9 подходит только 2 → 3042, сумма 9.

13. 141 и 147: суммы 6 и 12, кратны 3, но не 9. Число 144 имеет сумму 9, поэтому исключается.

14. Для обоих признаков: 36 (3 + 6 = 9). Для делимости на 3 вообще подходят 30, 33, 36, 39 — суммы 3, 6, 9, 12.

15. Для 9: 1026 (сумма 9). Для 3: 1020, 1023, 1026, 1029 (суммы 3, 6, 9, 12). Все числа, кратные 9, входят в список кратных 3, а обратное не всегда верно.

Как обнаружить ошибку при обратной проверке

Предположим, ученик в пункте 9 выбрал цифру 5 и написал: «Подходит: 6 + 7 + 0 + 5 = 18, число делится на 3». Первая часть верна, но условие выполнено не полностью: сумма 18 кратна и 9. Чтобы исключить лишние ответы, произнесите обе половины условия: «кратно 3» и «не кратно 9». При восстановлении цифры проверять нужно не только полученное число, но и полноту набора: перебор цифр 0–9 не должен оставлять непроверенных вариантов.

Полезный приём: сначала вычислить сумму известных цифр, затем перечислить возможные суммы после добавления одной цифры (их всего десять). Такой способ надёжнее подбора «на глаз» и одинаково работает для трёх-, четырёх- и пятизначных чисел.