Восстановление последней цифры числа при фиксированной сумме цифр: мини-практикум с ответами, 5 класс

Метод: последняя цифра определяется разностью двух сумм

Если известны все цифры числа, кроме последней, и дана точная сумма всех его цифр, то достаточно сложить видимые цифры и вычесть их сумму из заданной. Разность обязана быть одной цифрой от 0 до 9. Получив другое значение, не нужно придумывать запись: данные несовместимы, либо ошибка допущена раньше.

Например, запись 364□ имеет сумму цифр 19. Видимые цифры дают 3 + 6 + 4 = 13. Неизвестная цифра — 19 − 13 = 6, то есть 3646. Поскольку спрашивают последнюю цифру, не нужно переставлять разряды, изменять известные цифры или подбирать несколько чисел. Сумма цифр здесь служит способом восстановить конкретный разряд, а не признаком кратности сама по себе.

Этот практикум рассчитан на 5 класс. Начните с прямого восстановления, затем выполняйте дополнительную проверку делимости, а на третьем уровне сначала вычисляйте начало записи. Для каждого задания запишите равенство «заданная сумма − сумма известных цифр = цифра единиц», и лишь затем итоговый ответ. Полные решения находятся после всех карточек.

Уровень I — восемь коротких карточек

Работайте устно или письменно. Квадратик □ означает только одну цифру единиц, а не любое число. Значения 0 и 9 допустимы. Если итоговая цифра — 0, она остаётся частью числа: нельзя отбросить ноль справа.

1. В записи 247□ сумма всех цифр равна 19. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
2. В записи 813□ сумма всех цифр равна 12. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
3. В записи 592□ сумма всех цифр равна 24. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
4. В записи 406□ сумма всех цифр равна 12. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
5. В записи 731□ сумма всех цифр равна 20. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
6. В записи 658□ сумма всех цифр равна 23. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
7. В записи 924□ сумма всех цифр равна 16. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.
8. В записи 305□ сумма всех цифр равна 15. Найдите цифру единиц и назовите восстановленное число.

После первого уровня проверьте разрядность: у всех результатов четыре цифры. Самопроверка состоит из двух операций: сначала вычислить недостающую цифру, затем вновь сложить цифры уже восстановленного числа. Не заменяйте вторую операцию простым перечитыванием полученного ответа: это не независимая проверка.

Уровень II — восстановление и признак делимости

Здесь цифр больше, поэтому ошибка при сложении вероятнее. Для кратности 2 достаточно чётной последней цифры; для 5 необходима 0 или 5 на конце. Для 3 и 9 используется сумма цифр всего числа. Сначала восстановите последнюю цифру и только затем давайте ответ о кратности. В заданиях на чётность слово «чётное» равносильно «кратно 2».

1. Для числа 1725□ известна сумма цифр 18. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 2 получившегося числа и объясните способ проверки.
2. Для числа 4608□ известна сумма цифр 23. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 5 получившегося числа и объясните способ проверки.
3. Для числа 9361□ известна сумма цифр 19. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 3 получившегося числа и объясните способ проверки.
4. Для числа 2054□ известна сумма цифр 18. Найдите последнюю цифру, затем определите чётность получившегося числа и объясните способ проверки.
5. Для числа 6819□ известна сумма цифр 26. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 9 получившегося числа и объясните способ проверки.
6. Для числа 5047□ известна сумма цифр 25. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 5 получившегося числа и объясните способ проверки.
7. Для числа 3216□ известна сумма цифр 18. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 2 получившегося числа и объясните способ проверки.
8. Для числа 8450□ известна сумма цифр 21. Найдите последнюю цифру, затем определите кратность 3 получившегося числа и объясните способ проверки.

Уровень III — связанные действия в два шага

Сначала вычислите указанное сложение или вычитание: так вы получите неизменяемую левую часть записи. Следом восстановите единственную неизвестную цифру на правом краю. На третьем шаге определите кратность. Приписывание цифры — не то же самое, что сложение с этой цифрой: к примеру, если получено 385 и справа написано 4, образуется 3854, а не 389.

1. Сначала вычислите 248 + 137. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 20. Восстановите число и проверьте его делимость на 2.
2. Сначала вычислите 973 − 328. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 15. Восстановите число и проверьте его делимость на 5.
3. Сначала вычислите 416 + 275. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 23. Восстановите число и проверьте его делимость на 3.
4. Сначала вычислите 824 − 359. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 17. Восстановите число и проверьте его делимость на 9.
5. Сначала вычислите 572 + 143. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 22. Восстановите число и проверьте его делимость на 2.
6. Сначала вычислите 950 − 237. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 17. Восстановите число и проверьте его делимость на 5.
7. Сначала вычислите 338 + 426. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 18. Восстановите число и проверьте его делимость на 3.
8. Сначала вычислите 784 − 318. К результату справа приписана одна неизвестная цифра □. Сумма цифр нового числа равна 24. Восстановите число и проверьте его делимость на 9.

Ответы к уровню I с проверкой

1. □ = 6; число 2476. Сумма цифр видимой части: 2 + 4 + 7 = 13. Поэтому последняя цифра равна 19 − 13 = 6. Контроль: сумма цифр 2476 действительно равна 19.
2. □ = 0; число 8130. Сумма цифр видимой части: 8 + 1 + 3 = 12. Поэтому последняя цифра равна 12 − 12 = 0. Контроль: сумма цифр 8130 действительно равна 12.
3. □ = 8; число 5928. Сумма цифр видимой части: 5 + 9 + 2 = 16. Поэтому последняя цифра равна 24 − 16 = 8. Контроль: сумма цифр 5928 действительно равна 24.
4. □ = 2; число 4062. Сумма цифр видимой части: 4 + 0 + 6 = 10. Поэтому последняя цифра равна 12 − 10 = 2. Контроль: сумма цифр 4062 действительно равна 12.
5. □ = 9; число 7319. Сумма цифр видимой части: 7 + 3 + 1 = 11. Поэтому последняя цифра равна 20 − 11 = 9. Контроль: сумма цифр 7319 действительно равна 20.
6. □ = 4; число 6584. Сумма цифр видимой части: 6 + 5 + 8 = 19. Поэтому последняя цифра равна 23 − 19 = 4. Контроль: сумма цифр 6584 действительно равна 23.
7. □ = 1; число 9241. Сумма цифр видимой части: 9 + 2 + 4 = 15. Поэтому последняя цифра равна 16 − 15 = 1. Контроль: сумма цифр 9241 действительно равна 16.
8. □ = 7; число 3057. Сумма цифр видимой части: 3 + 0 + 5 = 8. Поэтому последняя цифра равна 15 − 8 = 7. Контроль: сумма цифр 3057 действительно равна 15.

Ответы к уровню II: восстановленная цифра и дополнительный вывод

1. 17253, последняя цифра 3. В известных разрядах сумма 15; недостаёт 3. Проверка «кратность 2»: нет, поскольку 17253 при делении на 2 даёт остаток 1.
2. 46085, последняя цифра 5. В известных разрядах сумма 18; недостаёт 5. Проверка «кратность 5»: да, поскольку 46085 при делении на 5 даёт остаток 0.
3. 93610, последняя цифра 0. В известных разрядах сумма 19; недостаёт 0. Проверка «кратность 3»: нет, поскольку 93610 при делении на 3 даёт остаток 1.
4. 20547, последняя цифра 7. В известных разрядах сумма 11; недостаёт 7. Проверка «чётность»: нет, поскольку 20547 при делении на 2 даёт остаток 1.
5. 68192, последняя цифра 2. В известных разрядах сумма 24; недостаёт 2. Проверка «кратность 9»: нет, поскольку 68192 при делении на 9 даёт остаток 8.
6. 50479, последняя цифра 9. В известных разрядах сумма 16; недостаёт 9. Проверка «кратность 5»: нет, поскольку 50479 при делении на 5 даёт остаток 4.
7. 32166, последняя цифра 6. В известных разрядах сумма 12; недостаёт 6. Проверка «кратность 2»: да, поскольку 32166 при делении на 2 даёт остаток 0.
8. 84504, последняя цифра 4. В известных разрядах сумма 17; недостаёт 4. Проверка «кратность 3»: да, поскольку 84504 при делении на 3 даёт остаток 0.

Подробные решения многошаговых задач

1. 248 + 137 = 385. Получаем 385□; сумма уже известных цифр 16, поэтому □ = 20 − 16 = 4. Число 3854. На 2 делится без остатка.
2. 973 − 328 = 645. Получаем 645□; сумма уже известных цифр 15, поэтому □ = 15 − 15 = 0. Число 6450. На 5 делится без остатка.
3. 416 + 275 = 691. Получаем 691□; сумма уже известных цифр 16, поэтому □ = 23 − 16 = 7. Число 6917. На 3 не делится (остаток 2).
4. 824 − 359 = 465. Получаем 465□; сумма уже известных цифр 15, поэтому □ = 17 − 15 = 2. Число 4652. На 9 не делится (остаток 8).
5. 572 + 143 = 715. Получаем 715□; сумма уже известных цифр 13, поэтому □ = 22 − 13 = 9. Число 7159. На 2 не делится (остаток 1).
6. 950 − 237 = 713. Получаем 713□; сумма уже известных цифр 11, поэтому □ = 17 − 11 = 6. Число 7136. На 5 не делится (остаток 1).
7. 338 + 426 = 764. Получаем 764□; сумма уже известных цифр 17, поэтому □ = 18 − 17 = 1. Число 7641. На 3 делится без остатка.
8. 784 − 318 = 466. Получаем 466□; сумма уже известных цифр 16, поэтому □ = 24 − 16 = 8. Число 4668. На 9 не делится (остаток 6).

Как проверить, что ответ вообще существует

В задании «672□, сумма цифр 9» сумма видимых цифр уже равна 6 + 7 + 2 = 15, то есть больше заданной 9. Значит, цифра единиц должна была бы быть отрицательной. Такой записи не существует. Аналогично если разность сумм равна 10, её нельзя разместить в одном разряде. Эти случаи отличают восстановление по сумме цифр от обычного подбора числа.

Обратите внимание на другой пограничный случай: если квадрат находится именно в разряде единиц, ноль допустим и часто важен для делимости на 2 и на 5. Запись 5840 имеет четыре цифры, хотя заканчивается нулём. Запрет на ведущий ноль касается только первого разряда многозначного числа, а не последнего.

При ошибке в дополнительной проверке сначала определите её тип. Если неверна сумма известных цифр, повторите складывание столбиком. Если последняя цифра найдена правильно, но ошибочен вывод о кратности, отдельно повторите признак для указанного делителя. Если вы приписали вместо одной цифры двухзначное значение, посмотрите, нет ли противоречия между условием и заданной суммой.

На самостоятельной работе можно оценивать каждый пункт в два шага: один балл за верно найденную цифру и один за правильное объяснение либо дополнительный вывод. Так видна разница между арифметической ошибкой и непониманием математического условия. Не требуется ни таблица всех возможных чисел, ни калькулятор, ни случайный перебор.