Восстановление пропущенного действия с ограничением на количество скобок: проверочная работа по математике, 5 класс

Проверочная работа для 5 класса: восстановите знак арифметического действия в выражении, не меняя числа и не добавляя скобок. Тренируются приоритет умножения и деления, чтение уже поставленных скобок и обратная проверка результата.

Правило проверки неизвестного знака

В каждом равенстве вместо квадрата □ нужно поставить один знак из набора +, −, ×, :. Сначала выполните все действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после — сложение и вычитание слева направо. Выбранный знак следует проверять вычислением всего выражения, а не только ближайших чисел.

Ограничение на скобки задано по уровням: уровень I — ни одной пары; уровень II — не более одной пары; уровень III — не более двух пар. Все скобки, которые нужны, уже напечатаны. Добавлять новые, перемещать или удалять их нельзя. Каждый номер составлен так, что правильный знак ровно один; результаты — целые числа.

Уровень I — вычисление без скобок

Восемь коротких равенств. Задача состоит не в угадывании операции, а в проверке порядка вычислений. Например, в записи 12 □ 3 × 4 действие 3 × 4 выполняется прежде сложения или вычитания.

1. 1. 12 □ 3 × 4 = 24.
2. 2. 36 □ 4 + 5 = 14.
3. 3. 7 □ 6 − 4 = 38.
4. 4. 56 □ 7 + 9 = 17.
5. 5. 18 □ 6 × 2 = 30.
6. 6. 100 □ 25 − 5 = 70.
7. 7. 27 □ 3 + 8 = 17.
8. 8. 8 □ 9 − 6 = 66.

Уровень II — одна пара скобок

Теперь не забывайте вычислять содержимое скобок раньше действий вне них. Если неизвестный знак стоит внутри скобок, его выбор может изменить значение сразу всей группы. Решите номера 9–17, соблюдая ровно заданный порядок.

1. 9. (14 □ 8) × 3 = 66.
2. 10. (50 □ 26) : 6 = 4.
3. 11. 9 □ (11 − 5) = 54.
4. 12. 72 □ (4 × 3) = 6.
5. 13. (24 □ 8) + 6 = 9.
6. 14. (7 □ 5) × 4 = 48.
7. 15. 60 □ (12 − 2) = 6.
8. 16. (29 □ 11) : 3 = 6.
9. 17. (3 □ 6) + 18 = 36.

Уровень III — две пары скобок и несколько шагов

В заданиях 18–26 надо контролировать обе скобочные группы. Иногда выгодно сначала вычислить правую группу, затем рассмотреть, какое значение требуется получить из левой. Если результат частного нецелый, такое предположение не подходит для данной карточки, но проверять его всё равно нужно по правилам арифметики.

1. 18. (16 □ 9) + (12 : 3) = 11.
2. 19. (5 □ 7) × (18 − 15) = 36.
3. 20. (81 □ 9) − (8 − 2) = 3.
4. 21. (6 □ 4) × (17 − 12) = 50.
5. 22. (90 □ 30) : (12 − 9) = 20.
6. 23. (48 □ 6) + (5 × 2) = 18.
7. 24. (11 □ 3) × (15 − 13) = 28.
8. 25. (63 □ 7) + (8 × 2) = 25.
9. 26. (72 □ 8) × (20 : 5) = 36.

Короткое обоснование каждого найденного знака

1. Сначала 3 × 4 = 12. Чтобы из исходных 12 получить 24, надо прибавить 12: 12 + 3 × 4 = 24. Заменять знак делением здесь нельзя.

2. Частное 36 : 4 равно 9, после прибавления 5 получается 14. Знак сложения между 36 и 4 дал бы намного больший итог.

3. Произведение 7 × 6 равно 42; после вычитания 4 остаётся 38. Сложение перед последующим вычитанием дало бы 9.

4. Сначала 56 : 7 = 8, затем 8 + 9 = 17. Запись 56 − 7 + 9 выглядела бы похожей, но дала бы 58.

5. Произведение 6 × 2 равно 12. До него стоит 18, поэтому для суммы 30 требуется знак сложения: 18 + 12.

6. Две разности вычисляются по порядку: сначала 100 − 25 = 75, затем 75 − 5 = 70. Не меняйте знак перед последней пятёркой.

7. Значение 27 : 3 равно 9; после прибавления 8 получаем 17. Если выбрать умножение, итог 27 × 3 + 8 оказался бы равен 89.

8. Произведение 8 × 9 равно 72; уменьшение на 6 приводит к 66. Здесь вычитание выполняется после умножения.

9. В скобке нужно получить 22, потому что 22 × 3 = 66. Подходит 14 + 8 = 22; произвольное перемещение скобок недопустимо.

10. Делимое внутри скобок должно равняться 24, поскольку 24 : 6 = 4. Получаем 50 − 26 = 24.

11. Правая скобка равна 6. Тогда требуется 9 × 6 = 54. Знак между 9 и целой скобкой — умножение.

12. Скобка 4 × 3 даёт 12, а 72 : 12 = 6. Сначала обрабатываем скобку, даже если знак деления находится до неё.

13. Чтобы результат слагаемого в скобках вместе с 6 дал 9, нужно число 3. Действительно, 24 : 8 = 3.

14. Из итогового произведения 48 и множителя 4 находим другую скобку: 48 : 4 = 12. Равенство 7 + 5 = 12 задаёт знак.

15. Разность 12 − 2 равна 10; 60 : 10 = 6. Умножение или вычитание на целую скобку не дадут нужной шестёрки.

16. Если (29 □ 11) : 3 = 6, скобочная группа должна равняться 18. Разность 29 − 11 действительно составляет 18.

17. Вне скобки уже прибавлено 18, значит первая часть должна равняться 18. Произведение 3 × 6 = 18 даёт всего 36.

18. Вторая скобка даёт 12 : 3 = 4. Для суммы 11 первая скобка должна быть равна 7, а это 16 − 9.

19. Скобка справа равна 18 − 15 = 3. Делим итог 36 на 3 и получаем 12: такую левую скобку создаёт 5 + 7.

20. Правая разность 8 − 2 равна 6. Левая скобка должна составить 9, и единственный подходящий знак между 81 и 9 — деление.

21. Справа 17 − 12 = 5; слева поэтому нужно получить 50 : 5 = 10. Скобка 6 + 4 как раз равна 10.

22. Делитель справа 12 − 9 = 3. Чтобы частное стало 20, числитель должен быть 60. Это результат 90 − 30.

23. Правая скобка даёт 5 × 2 = 10. До прибавления этой десятки должно быть 8, значит 48 : 6 = 8.

24. Правая группа равна 15 − 13 = 2, а левая должна равняться 14. Среди действий между 11 и 3 подходит сложение.

25. В правой скобке 8 × 2 = 16. Чтобы получить 25, слева требуется 9. Поэтому 63 : 7 + 16 = 9 + 16.

26. Правая скобка равна 20 : 5 = 4. Искомое произведение 36 требует первой скобки 9; получаем 72 : 8 = 9.

Обратная проверка особенно полезна там, где неизвестный знак стоит внутри скобок. Например, чтобы решить (29 □ 11) : 3 = 6, сначала умножают 6 на 3 и понимают, что внутри скобок требуется получить 18. Лишь затем подбирают знак между 29 и 11. В задачах с двумя скобками разумно отдельно подписывать значения левой и правой групп. Такой способ сокращает число проб и позволяет обосновать выбор операции, не добавляя запрещённых скобок.

Ключ ответов для быстрой проверки

Разобранные решения — от простого к сложному

№ 2. Подставим деление: 36 : 4 + 5 = 9 + 5 = 14. При сложении получилось бы 36 + 4 + 5 = 45. После деления сначала получаем 9, затем прибавляем 5.

№ 6. В выражении 100 □ 25 − 5 = 70 подходит вычитание: 100 − 25 − 5 = 75 − 5 = 70. Здесь действия одинакового приоритета идут слева направо.

№ 10. Проверяем разность в скобках: (50 − 26) : 6 = 24 : 6 = 4. Если сперва поделить 26 на 6, изменится исходная группировка — так делать нельзя.

№ 12. Сначала 4 × 3 = 12. Тогда 72 : (4 × 3) = 72 : 12 = 6. Знак «:» стоит перед всей скобкой, а не только перед четвёркой.

№ 18. Правильное равенство: (16 − 9) + (12 : 3) = 7 + 4 = 11. Здесь две независимые группы: слева разность, справа частное.

№ 20. Находим левое частное: 81 : 9 = 9. Справа 8 − 2 = 6. Разность 9 − 6 = 3, поэтому знак — деление.

№ 22. Справа 12 − 9 = 3. Чтобы после деления на 3 получить 20, слева нужно 60. Поэтому 90 − 30 = 60 и (90 − 30) : (12 − 9) = 20.

№ 26. Справа 20 : 5 = 4. До умножения на 4 надо получить 9; это 72 : 8. Проверка: (72 : 8) × (20 : 5) = 9 × 4 = 36.

Для учителя полезен и обратный способ проверки с «ловушкой»: предложите ученику выбрать другой знак в любом решённом номере и указать, на каком именно шаге итог перестаёт совпадать с правой частью. Например, в № 14 при умножении 7 × 5 внутри скобок выйдет 35, а после умножения на 4 — 140 вместо 48. В № 23, если заменить деление сложением, первая скобка станет равна 54, и итог будет равен 64, а не 18. Такая аргументация показывает, что речь идёт о восстановлении действия, а не о механической подстановке ответа из ключа.

Как избежать типичных ошибок

• Ошибка «читаю слева направо всё подряд». Без скобок умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием.
• Ошибка «делю только соседнее число». Если перед знаком стоит скобочная группа, операция относится ко всему её значению.
• Ошибка «можно дорисовать скобки». Условие запрещает добавлять пары скобок: получится уже другая задача.
• Ошибка «знак угадали — решение готово». Нужно подставить знак, вычислить обе части равенства и подтвердить их совпадение.

Самопроверка: 26 верно найденных знаков — 26 баллов. При 22–26 баллах навык устойчив; при 17–21 повторите задания с двумя парами скобок; при 16 и менее потренируйте порядок действий на номерах 1–8 и снова решите карточку без подсказок.