Восстановление пропущенного множителя для выражения с тангенсом: задачи с решениями для 10 класса

Подозрительное равенство: можно ли всегда делить на тангенс?

Ученик записал: tg x · M(x) = sin x, затем без оговорок разделил обе части на tg x и получил M(x) = cos x. Последний множитель действительно подходит: tg x · cos x = sin x. Однако вычислять tg x можно лишь при cos x ≠ 0, а делить на tg x можно ещё и при sin x ≠ 0. Точки, где tg x = 0, требуют проверки прямой подстановкой: равенство 0 = 0 в них остаётся верным с выбранным множителем cos x.

Цель работы — восстанавливать пропущенный множитель в тригонометрическом произведении и доказывать, что результат работает на всей исходной области определения, а не только там, где было удобно разделить. Вы не решаете уравнение для отдельного угла: ищете функцию M(x), которая делает исходную запись тождественно верной на оговорённом множестве.

Почему восстановление работает

Основные факты: tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0; sin²x + cos²x = 1; sin 2x = 2 sin x cos x. Например, в записи cos x · □ = sin x пропущен tg x. Но правая часть определена при любом действительном x, а выбранный множитель tg x — нет. Поэтому полученное равенство допустимо утверждать только при cos x ≠ 0, и это нужно записать вместе с ответом.

Второй пример показывает проблему нулевого множителя: sin x · □ = sin x cos x. Естественный ответ — cos x на всей ℝ. Сокращение на sin x привело бы к временной потере x = πk, где sin x = 0. Для доказательства лучше раскрыть полученное произведение, чем ссылаться только на деление. Если исходное уравнение допускает много функций, подходящих на отдельных точках, в заданиях требуется найти один простой множитель, а не доказать его единственность во всех точках.

Особые точки: тест, который спасает решение

Задачи на обоснование: от прямого восстановления к особым случаям

1. Карточка 1. Восстановите □ в cos x · □ = sin x. Укажите ограничения.
2. Карточка 2. Заполните tg x · □ = sin x; проверьте x = 0.
3. Карточка 3. Найдите □ в sin x · □ = tg x.
4. Карточка 4. Заполните 2 tg x · □ = sin 2x.
5. Карточка 5. Восстановите □ в tg x · □ = 1 − cos²x.
6. Карточка 6. Определите □ в cos²x · □ = sin x cos x на области cos x ≠ 0.
7. Карточка 7. Можно ли назвать тождеством на ℝ равенство tg x · cos x = sin x?

Второй этап — проверка нулей и делителей

8. Карточка 8. Восстановите □ в (1+tg²x)·□ = 1.
9. Карточка 9. Восстановите □ в (1−sin²x)·□ = cos x на области cos x ≠ 0.
10. Карточка 10. Для sin x · □ = sin x cos x один ученик исключил x=πk. Нужны ли эти исключения?
11. Карточка 11. Найдите □ в tg x · □ = sin x cos x.
12. Карточка 12. Найдите □ в (tg x / cos x)·□ = sin x при cos x ≠ 0.
13. Карточка 13. Верно ли, что из tg x·M(x)=tg x·sin x можно заключить M(x)=sin x для каждого x, где tg x определён?
14. Карточка 14. Восстановите □ в (sin x cos x)·□ = sin²x при sin x cos x ≠ 0.

Полные ответы и контроль доказательства

1. tg x; cos x ≠ 0, x ≠ π/2 + πk. Проверка: cos x·sin x/cos x=sin x.
2. cos x на исходной области cos x ≠ 0. При x = 0: 0·1=0.
3. 1/cos x при cos x ≠ 0. Подстановка: sin x/cos x=tg x; x=πk тоже допустимы.
4. cos²x при cos x ≠ 0: 2(sin x/cos x)cos²x=2sin x cos x.
5. sin x cos x при cos x ≠ 0: tg x sin x cos x=sin²x=1−cos²x.
6. tg x: cos²x·sin x/cos x=sin x cos x. Вне этой области выбранный множитель не определён.
7. Нет: при x=π/2+πk левая часть не определена. Это тождество лишь при cos x ≠ 0.
8. cos²x при cos x ≠ 0: 1+tg²x=1/cos²x.
9. 1/cos x: (1−sin²x)/cos x=cos²x/cos x=cos x.
10. Нет. Выбор □=cos x работает на всей ℝ, включая x=πk; исключение возникло только от необязательного деления.
11. cos²x, cos x ≠ 0. Проверка: (sin x/cos x)cos²x=sin x cos x.
12. cos²x. Проверка: tg x / cos x · cos²x = sin x.
13. Нет: при x=πk tg x=0, и исходное равенство выполняется при любом конечном M(x). Один корректный выбор — M(x)=sin x.
14. tg x при sin x cos x ≠ 0. После подстановки sin x cos x·sin x/cos x=sin²x.

Самопроверка решения: в каждой карточке назовите исходную область определения, покажите один шаг преобразования и поясните, где могли появиться лишние ограничения из-за деления на нулевую функцию. В частности, пропущенный множитель не обязательно единственен в точке, где известный множитель равен нулю. Напротив, если известный множитель не равен нулю, отношение правой части к нему определяет искомое выражение однозначно.

Для доказательства тождества предпочтительна проверка «слева направо»: подставить найденный множитель в первоначальное произведение и получить правую часть. Такой путь не требует переносить ограничения от промежуточных дробей на исходное тождество. Запись «для всех x» допустима только при отсутствии тангенса или иных дробных выражений, которые вводят исключённые углы. Углы можно задавать в радианах; k — любое целое число.

Доказательство на трёх значениях угла

Рассмотрим карточку 4: 2tg x·cos²x=sin 2x. При x=0 слева 2·0·1=0, справа sin 0=0. При x=π/4 слева 2·1·(1/2)=1, справа sin(π/2)=1. При x=π/2 формулу проверять нельзя: tg x в этой точке не определён. Две успешные числовые подстановки сами по себе не доказывают тождество; доказательство получается только после подстановки определения тангенса и упрощения до 2sin x cos x.

Карточку 8 также удобно проверять двумя путями. Прямой: (1+tg²x)cos²x=cos²x+sin²x=1. Обратный: из равенства 1+tg²x=1/cos²x умножить на cos²x. Оба пути требуют cos x≠0. Это условие появляется не из желания сократить дробь, а из первоначального определения тангенса.

В математической записи удобно разделять три ответа: выбранный пропущенный множитель, область, на которой исходное выражение имеет смысл, и само доказательство. Например, в карточке 13 нельзя написать «множитель единственный» без дополнительного условия tg x≠0, потому что в нулях тангенса произведение обнуляется при разных значениях множителя. Именно такие точки показывают разницу между нахождением подходящего выражения и решением на единственность.