Восстановление пропущенного показателя с нулевым показателем — рабочий лист для 7 класса

Рабочий лист по алгебре, 7 класс · 18 заданий. Все неизвестные показатели x — целые неотрицательные числа. Цель: восстанавливать x в равенствах степеней, где появляется нулевой показатель, и отличать единственное решение от целого семейства решений.

Старт: три правила

• Если a ≠ 0, то a⁰ = 1. В частности, 2⁰ = 1, а не 0.
• При a > 1 выражение a^x = 1 возможно только при x=0.
• При a ≠ 0 тождество a^x:a^x = 1 верно при любом целым x≥0. Для a=1 равенство 1^x = 1 также верно при любом таком x.

Рабочая памятка перед самостоятельными вариантами

В задании 2ˣ:2⁰=2⁶ знаменатель 2⁰=1. Поэтому исходное равенство равно 2ˣ=64 и x=6. Если сразу написать x−0=6, получится тот же результат. Оба объяснения правильны, но второе требует помнить, почему нулевой показатель нельзя заменить нулевым значением.

Другой тип: 5ˣ:5²=5⁰. Справа 1, значит числитель должен быть равен знаменателю: 5ˣ=25, поэтому x=2. Ошибочная догадка x=0 возникает оттого, что ученик смотрит только на последний показатель, не принимая во внимание делитель 5².

При проверке важно не менять область допустимых значений по ходу работы. В этом листе x — целое неотрицательное число. Если в другом задании допускают отрицательные показатели, формулы преобразуются так же, но число решений и вид равенств могут требовать отдельного рассмотрения. Здесь это не нужно: достаточно обычных степеней натуральных оснований.

Отличайте три возможных исхода

Для последнего типа не требуется перебирать множество показателей. Достаточно свойства: при целом x≥0 число 4ˣ≥1, поэтому 1/4ˣ≤1. Оно никак не может равняться четырём. Подобное доказательство позволяет ученику объяснить несуществование решения, а не просто написать пустой ответ.

Маршрут 1 — лёгкий старт: восстановите показатель

1. 2^x : 2⁰ = 2⁶. Найдите x; отдельно объясните значение нулевой степени, если она есть.
2. 3^x : 3² = 3⁴. Найдите x; отдельно объясните значение нулевой степени, если она есть.
3. 4^x : 4⁰ = 4³. Найдите x; отдельно объясните значение нулевой степени, если она есть.
4. 5^x : 5¹ = 5². Найдите x; отдельно объясните значение нулевой степени, если она есть.
5. 6^x : 6³ = 6⁵. Найдите x; отдельно объясните значение нулевой степени, если она есть.
6. 7^x : 7⁰ = 7². Найдите x; отдельно объясните значение нулевой степени, если она есть.

Как исправить чужой ответ без лишних вычислений

Сначала проверьте, о каком математическом объекте сделано утверждение. Если записано 9⁰:9ˣ=1, то важно, что нулевой показатель стоит у числителя. Числитель равен 1; равенство требует знаменателя 1, а это возможно лишь при x=0. Если же написано 9ˣ:9ˣ=1, равенство выполнено для всех допустимых x, потому что выражение одинаково в числителе и знаменателе. Нельзя переносить единственный ответ из первого случая во второй.

Иногда ошибка рождается из привычки ожидать от каждого уравнения ровно один корень. Но задача «восстановить показатель» может иметь бесконечно много решений: например, 1ˣ=1 для любого целого x≥0. Бывает и противоположная ситуация: ни одного решения, если показатель находится в выражении с нулевым знаменателем или если положительная степень должна равняться невозможному числу.

При анализе решения партнёра полезно отделять две оценки: правильно ли названы допустимые значения x и правильно ли выполнено преобразование? Ответ «x=0» для тождества может быть проверяемой подстановкой, но неполным ответом: надо указать все решения, а не одно подходящее.

Маршрут 2 — найдите неверное обоснование

1. Ученик: «8ˣ:8³=8⁰ ⇒ x=0».
2. Ученик: «6ˣ·6⁰=6⁴ ⇒ x=0».
3. Ученик: «9⁰:9ˣ=1 ⇒ x=1».
4. Ученик: «2ˣ:2ˣ=2⁰ ⇒ x=0».
5. Ученик: «1ˣ:1⁰=1 ⇒ x=0».
6. Ученик: «0ˣ:0⁰=1 ⇒ x=0».

Маршрут 3 — исследовательские задачи: сколько решений?

1. Для x≥0 установите все x, при которых 11ˣ:11⁰ = 1.
2. Найдите все x≥0, для которых (2ˣ:2ˣ)·3⁰ = 1.
3. Укажите все x≥0, для которых 5ˣ·5⁰ = 125.
4. Найдите все x≥0, для которых 4⁰:4ˣ = 4.
5. Выясните, когда 7ˣ:7ˣ = 7⁰.
6. Найдите все x≥0, для которых 3ˣ:3² = 3⁰.

Подсказки для взаимной проверки

• Для каждого найденного числа x подставьте его в обе стороны. В выражении 3ˣ:3²=3⁰ при x=2 обе стороны равны 1, это реальная числовая проверка.
• Если ответом стало «любой x», объясните, почему каждое допустимое значение сохраняет равенство. Например, в дроби 2ˣ:2ˣ нельзя делить на нуль, но 2ˣ всегда ненулевое.
• Если ответ «решений нет», назовите точную причину: запрещённое выражение или несовместимые значения. Эти разные причины не стоит смешивать.
• Не принимайте утверждение «0⁰=1» как универсальное школьное правило. В заданиях используется обычное соглашение: при основании 0 и показателе 0 выражение не определено.

Дополнительная устная проверка: измените в примере 2ˣ:2ˣ=1 основание с 2 на 0. Для x>0 знаменатель станет 0, а для x=0 появится 0⁰. Ни в одном случае сокращение недопустимо. Таким образом, даже верно найденное общее правило нельзя применять за пределами области, в которой оно доказано.

При выполнении на бумаге оставляйте после каждого номера место для фразы «единственное решение», «все неотрицательные целые» либо «нет решения». Такой формат заставляет осознанно указать множество ответов и упрощает проверку учителю.

Ответы и анализ ошибок

Стартовые упражнения

1. По правилу деления показателей x−0=6, следовательно x=6. Проверка: 2⁶ : 2⁰ = 2⁶.
2. По правилу деления показателей x−2=4, следовательно x=6. Проверка: 3⁶ : 3² = 3⁴.
3. По правилу деления показателей x−0=3, следовательно x=3. Проверка: 4³ : 4⁰ = 4³.
4. По правилу деления показателей x−1=2, следовательно x=3. Проверка: 5³ : 5¹ = 5².
5. По правилу деления показателей x−3=5, следовательно x=8. Проверка: 6⁸ : 6³ = 6⁵.
6. По правилу деления показателей x−0=2, следовательно x=2. Проверка: 7² : 7⁰ = 7².

Ошибочные рассуждения

1. Ошибка: x−3=0 ⇒ x=3. Деление одинаковых степеней равно 1.
2. Ошибка: 6⁰=1, поэтому 6ˣ=6⁴ и x=4.
3. Ошибка: 9⁰=1, поэтому 1:9ˣ=1 только при 9ˣ=1, то есть x=0.
4. Ошибка: равенство выполнено при любом x≥0, так как обе степени равны и ненулевые.
5. Ошибка: 1ˣ=1 для любого x≥0; уравнение допускает любой такой x.
6. Ошибка: 0⁰ не определяем в школьной арифметике, значит знаменатель недопустим; задача не имеет допустимых x.

Задачи на количество решений

1. 11⁰=1, потому 11ˣ=1. Основание 11>1, значит единственный x=0.
2. 2ˣ:2ˣ=1 при всех x≥0, 3⁰=1; решений бесконечно много: любое x≥0.
3. 5⁰=1 и 125=5³, отсюда x=3. Контроль: 125·1=125.
4. Левая часть 1/4ˣ≤1, правая 4. Решений среди x≥0 нет.
5. Обе части равны 1 при всех x≥0, поскольку основание 7 ненулевое. Любой x≥0.
6. 3⁰=1, значит 3ˣ/9=1 и x=2. Контроль: 9/9=1.

Памятка: a⁰=1 при a≠0; 0⁰ и деление на нуль в этих заданиях не определены. Если из проверки получилось «x любое», так и укажите: не нужно придумывать одно число ради короткого ответа.

Дополнительный разбор условия «восстановить»

Фраза «восстановить пропущенный показатель» не всегда означает найти одно конкретное число. Например, если нам сообщили 3^x:3^x=1, то подходят x=0,1,2,3,… без исключения. Обоснование работает для любого из них: степень тройки всегда ненулевая и равна самой себе в числителе и знаменателе. Не следует придумывать дополнительное условие x>0: при x=0 равенство тоже верно.

Когда дано 8⁰:8^x=1, логика другая. Числитель равен 1, а знаменатель должен равняться 1. Поскольку 8>1, степень восьмёрки равна единице только при x=0. Здесь единственное решение, несмотря на похожие символы и то же число 1 справа. Именно эта разница между тождеством и уравнением с единственным ответом — главная цель третьего маршрута.